Un langage formel (automate NFA)

philjourney

Bonjour à tous
je voudrais m'assurer avoir bien compris la définition d'un langage pour lequel je dois réaliser un automate non déterministe fini.
L'intitulé de l'exercice est le suivant.

Soient $n$ nombres $p_1,\ldots,p_n \in \{1,\ldots, N\}$ avec $N \in  \mathbb{N}$. Considérez le langage :

$$L = \left\{w = p_{i_1} \ldots p_{i_k} \in \{p_1,\ldots,p_n\}^* \mid \sum_{j=1}^k p_{i_k} = N,\  \text{ pour tout } k \in \mathbb{N}\right\}$$

Il est ensuite demandé de construire un automate.

Ma question concerne la définition donnée du langage: $w=p_{i_1}\cdots p_{i_k}$ désigne bien la concaténation de $k$ $p_i$, à savoir le même nombre $k$ fois ?

Par exemple, si $N= 6$, $n=3$,  $p_1,\ldots,p_3 \in \{1,\ldots,6\}$, avec comme possibilité $p_1= 5,\ p_2= 1,\ p_3= 3$ et $w= 33 \in L$, ou $w= 111111 \in L$
Ai-je bien compris cette définition ?
Je vous remercie pour vos réponses !

Alesha

Il n'y a pas de raison pour supposer que c'est le même nombre $k$ fois : avec ton exemple, on a $w = 15 \in L$.

philjourney

Merci pour la réponse. Je pensais que comme les $p$ ont le même indice $i$ il s'agissait du même nombre. 

Alesha

Les $p$ n'ont pas $i$ pour indice mais ont pour indice $i_j$ pour un certain $j$ et on n'a pas à supposer que l'on a $i_1 = i _2$. 

On aurait pu définir $L$ ainsi :

$$L = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} \left\{ q_{1} \ldots q_{k} \in \{p_1,\ldots,p_n\}^* \mid \sum_{j=1}^k q_{j} = N \right\}$$

philjourney

Alesha a dit :

Les $p$ n'ont pas $i$ pour indice mais ont pour indice $i_j$ pour un certain $j$ et on n'a pas à supposer que l'on a $i_1 = i _2$. 

Effectivement, j'avais mal interprété les indices. Merci pour les explications.