Sujet CCMP - Maths 2 - 2023

MangeurAnnales

C10. a déjà été traitée.

C11.
Ici on va utiliser le changement de variable $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $u=\ln(\sin(t))$ de $[0,\pi/2]$ sur $]-\infty,0]$.

$du=cotan(t)dt$ avec $\sin(t)=e^u$ et $\cos(t)=\sqrt{1-e^{2u}}$.

Alors $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\ D_n=\displaystyle{ \int_{-\infty}^{0} u^n\frac{e^u}{\sqrt{1-e^{2u}}} du }$.

Puis avec le changement de variable $v=-u$, $D_n=\displaystyle{ \int_{+\infty}^{0} (-1)^n.v^n\frac{e^{-v}}{\sqrt{1-e^{-2v}}} (-dv) = (-1)^n  \int_{0}^{+\infty} v^n\frac{e^{-v}}{\sqrt{1-e^{-2v}}} dv  = (-1)^n  \int_{0}^{+\infty} \frac{v^n}{\sqrt{e^{2v}-1}} dv}$ en multipliant par $e^v$ la fraction au numérateur et au dénominateur.

On a justifié $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\ \boxed{(-1)^n.D_n=\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{v^n}{\sqrt{e^{2v}-1}} dv}}$.

MangeurAnnales

C11. Suite

Pour montrer $D_n \sim_{n \mapsto +\infty} (-1)^n.n!$

Je viens d'établir que $D_1=-\frac{\pi}{2}.ln(2)$. Le signe correspond, la valeur pas tout à fait mais on est loin de l'infini.

La seule méthode qui me semble possible est la récurrence mais je doute même de la justesse de cette idée. L'IPP est lourde ici et ne semble pas aboutir. Pas de suggestion de résolution dans l'énoncé. On se débrouille.

MangeurAnnales

@bd2017 Je laisse la question de côté. Tant pis. Je verrai avec @OShine quand il aura lu la leçon. Voilà, la je ne trouve pas, c'est difficile pour moi.

Je note B5. sera à refaire.

$\ln(\sin(t))$ est une bijection  de $[0,\pi/2]$ sur $]-\infty,0]$.

$\bullet$ Si $x>0$,  $\psi(x,t)=e^{x\ln(\sin(t))}$ pour $t \in [0,\pi/2]$ est à valeur dans $[0,1]$

$\bullet$ Si $-1<x<0$,  $\psi(x,t)=e^{x\ln(\sin(t))}$ pour $t \in [0,\pi/2]$ est à valeur dans $[0;+\infty[$, il est impossible de majorer.

MangeurAnnales

C12.

Pour montrer que f est DSE (développable en série entière) , il faut montrer que f est de la forme au voisinage de 0, ici sur $]-1,1[$, $f(z)=\displaystyle{ \sum_{k=0}^{k=+\infty} a_k.z^k }$, ce qui revient à montrer l'existence de la suite $(a_k)_k$.

On peut généraliser la question B5 et montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $\forall k \in \mathbb{N}$, $f^{(k)}(x)=\displaystyle{ \int_0^{\pi/2} ln^k(sin(t)).sin^x(t) dt }$ et que ces valeurs existent.

On a alors par convergence des intégrales l'existence de la suite.

Enfin on peut écrire explicitement $\forall x \in ]-1,1[$, $\forall k \in \mathbb{N}$, $a_k=f^{(k)}(x)/k!$. D'ailleurs en 0 le DSE est la fonction nulle.

Milas

MangeurAnnales a dit :

@bd2017 Je laisse la question de côté. Tant pis. Je verrai avec @OShine quand il aura lu la leçon. Voilà, la je ne trouve pas, c'est difficile pour moi.

Je note B5. sera à refaire.

Bonjour 
La dérivabilité est une notion locale donc pour le B5 il s'agit de trouver une fonction dominante sur un segment quelconque de ton intervalle  et qui est intégrable ce que tu sais faire indépendamment de signe de x

bd2017

MangeurAnnales a dit :

@bd2017 Je laisse la question de côté. Tant pis. Je verrai avec @OShine quand il aura lu la leçon. Voilà, la je ne trouve pas, c'est difficile pour moi.

Je note B5. sera à refaire.

Avec @Oshine ça va bloquer dur.

MangeurAnnales

@OShine Je vais attendre que tu proposes une idée. C5 m'ennuie, je ne trouve pas de majoration quand $x$ est négatif.

Pour C11, est-ce que tu vois autre chose qu'une récurrence ? C12 j'ai un doute.

Est-ce que tu es au point sur les SE ? Sinon je bascule sur le sujet 1, c'est des équa-diffs et j'ai vu que tu as fait le sujet de l'agreg des équa-diffs.

Voilà dis-moi ce que tu en penses. Sinon je peux continuer tout seul mais c'est plus sympa à 2.

J'ai attaqué la partie 4 aussi. Je posterai plus tard, elle est sympa cette partie. Il y a du produit de Cauchy de séries à un moment.

J'aime bien ce sujet car tu as un peu de tout en analyse : intégrales, séries numériques, séries entières, équivalents, convexité. Les questions sont simples c'est limpide, pas de questions mal posées. A+ l'ami.

bd2017

Pour la 11.  faire une récurrence ce n'est même pas une idée.
Il faut m.q :  $\int_0^\infty \dfrac{u^n}{\sqrt{e^{2u}-1}} du \sim \int_0^\infty u^n e^{-u} du= n! $

JLapin

MangeurAnnales a dit :

C5 m'ennuie, je ne trouve pas de majoration quand $x$ est négatif.

Tu devrais étudier la classe $C^1$ (ou $C^\infty$) de la fonction $\Gamma$ : c'est à peu près la même idée pour la domination.