Étape dans la preuve qu'un groupe d'ordre 15 est cyclique

Bonjour à tous, je vous mets la preuve trouvée sur wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_Sylow#:~:text=Th%C3%A9or%C3%A8me%201%20%3A%20Il%20existe%20un,np%20divise%20s.):
"Soit G un groupe d'ordre 15 = 3 · 5. (n3 étant le nombre de 3-Sylow) Nous devons avoir n3  divise 5, et n3 ≡ 1 mod 3. La seule valeur satisfaisant ces contraintes est 1 ; ainsi, il y a un seul sous-groupe d'ordre 3, et il doit être normal (puisqu'il n'a pas de conjugués distincts). De façon analogue, n5 divise 3, et n5 ≡ 1 mod 5 ; il a donc aussi un seul sous-groupe normal d'ordre 5. Puisque 3 et 5 sont premiers entre eux, l'intersection de ces deux sous-groupes est triviale, et donc G est nécessairement un groupe cyclique. Ainsi, il existe un seul groupe d'ordre 15 (à un isomorphisme près) : le groupe Z/15Z."

Je ne comprends pas le passage "L'intersection de ces deux sous-groupes est triviale, et donc G est nécessairement un groupe cyclique.", est-ce une propriété liée au fait que les deux p-Sylow considérés soient distingués dans G?
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (May 2023)
    La première partie est due au fait que le cardinal de l'intersection divise à la fois $3$ et $5$ (Lagrange).
  • Oui, ça je crois l'avoir compris, par la suite, on aurait donc en notant K le 3-sous-groupe de Sylow et H le 5-sous-groupe de Sylow : K et H qui sont cycliques (car d'ordres premiers), mais en quoi est-ce que cela permet de conclure sur le caractère cyclique de G?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • On a $G \cong H \times K$ , $K \cong \mathbf{Z}/\mathbf{3Z}$, $H \cong \mathbf{Z}/\mathbf{5Z}$, et $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/5\mathbf{Z} \cong \mathbf{Z}/15\mathbf{Z}$ par le théorème chinois.

  • Il me semble qu'il manque un argument. On pourrait ajouter que comme le $3$-Sylow $K$ est distingué, un élément d'ordre $5$ induit par conjugaison sur le $3$-Sylow un automorphisme d'ordre divisant $5$ ; or il ne saurait exister d'élément d'ordre $5$ dans le groupe des permutations des trois éléments du $3$-Sylow, ce qui signifie que tout élément d'ordre $5$ commute à tout élément d'ordre $3$ ; on en déduit que l'application de produit $H\times K\to G$, $(h,k)\mapsto hk$ est un morphisme de groupes ; comme il est injectif puisque le noyau est isomorphe à $H\cap K=\{e\}$, il est par argument de cardinalité un isomorphisme.
  • canasson29
    Modifié (May 2023)
    Si $x$ est d'ordre $5$ et $y$ est d'ordre $3,$ ils commutent d'après le raisonnement de Math Coss, donc $xy$ est d'ordre $PPCM(5,3)=15.$
  • Math Coss
    Modifié (May 2023)
    Attention, dans un groupe en général un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 3 ne commutent pas et (donc) le produit n'est pas d'ordre 15. Exemple :
    sage: a, b = PermutationGroupElement([(1,2,3,4,5)]), PermutationGroupElement([(5,6,7)])
    sage: a*b
    (1,2,3,4,6,7,5)
    sage: a.order(), b.order(), (a*b).order()
    (5, 3, 7)
    sage: c = PermutationGroupElement([(4,5,6)])
    sage: a*c
    (1,2,3,5)(4,6)
    sage: (a*c).order()
    4
    
  • $K \cap H=1$, et $K$ et $H$ sont tous deux distingués dans $G$ (donc leurs éléments commutent), donc $KH \cong K \times H$ (produit direct).
    De plus, $|G|=|K||H|$, donc $G=KH$, et c'est le produit direct de $K$ et $H$, tous deux cycliques d'ordres premiers entre eux, 3 et 5, donc $G$ est cyclique.
  • canasson29
    Modifié (May 2023)
    Math Coss, je me plaçais dans le cas où $x$ et $y$ commutent puisque tu es arrivé à cette propriété. L'ordre de $xy$ est alors le ppcm des ordres de $x$ et $y$
  • Oui, je voulais juste souligner que c'était nécessaire : le calcul de l'ordre du produit de deux éléments est impossible en général à partir de la seule donnée de leurs ordres.
    Pour faire bonne mesure, j'ajoute une couche : la propriété « l'ordre du produit de deux éléments est le ppcm des ordres » est fausse en général (contre-exemple facile : $x=y$ d'ordre pair, par exemple $2$). Elle est vraie si les ordres sont premiers entre eux mais alors on invoque plutôt le produit que le ppcm.
  • Oups ! Effectivement, j'ai dit une grosse bêtise.
  • On peut aussi regarder $x$ et $y=x^{-1}$ qui commutent…
  • Ne m'enfoncez pas !
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