Un exercice Centrale MP 2022

eiram
Modifié (May 2023) dans Algèbre
Bonjour. Voici un exercice posé l'an dernier à l'oral de Centrale MP.

a) Soient $U, V$ dans $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})$. Montrer qu'il existe $R \in \mathcal{S}_n^{+}$telle que $R^2=U$ puis que $\operatorname{tr}(U V) \geq 0$.
b) Soient $f: I \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ dérivable et $P \in \mathbf{R}[X]$. Montrer que $t \mapsto \operatorname{tr}(P(f(t)))$ est dérivable et calculer sa dérivée.
c) Soient $M,N$ dans $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})$ avec $N-M \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbf{R})$. Montrer que $\operatorname{tr}(\exp M)$ est inférieur ou égal à  $\operatorname{tr}(\exp N)$

J'arrive à faire sans difficulté les questions a) et b), mais toutes mes tentatives pour c) échouent. Si vous avez des idées, je suis preneuse.
Merci d'avance.



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Réponses

  • eiram
    Modifié (May 2023)
    J'ai trouvé : il suffit d'appliquer les questions précédentes avec $f:t\mapsto M+t(N-M)$ et $P_q=1+X+\frac{X^2}{2}+\dots+\frac{X^q}{q!}$ en utilisant la convexité de $\mathscr{S}_n^+(\R)$.
    Désolée pour le bruit !
  • canasson29
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,
    je me demandais si la question b) restait valable en supposant $P \in \mathbb{R}\lbrack\lbrack X \rbrack\rbrack$ de rayon de convergence $R_P=+\infty$ ?
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