
Triangle 3-4-5 et point de Nagel
Bonjour
Une contribution récente de Stanley Rabinowitz :
dans le triangle 3-4-5 le point de Nagel est sur le cercle inscrit.
Soit un triangle 3-4-5 tel que sur le schéma.
• AB = 3, AC = 4, BC = 5
• Mb = milieu du côté AC
• I = centre du cercle inscrit
• Ia, Ib, Ic = points de contact du cercle inscrit
• Na, Nb, Nc = points de contact des cercles exinscrits sur les côtés du triangle
• N = point de Nagel
• Ja, Jb, Jc = centres des cercles exinscrits

Quelques longueurs remarquables dans ce triangle :
tous les segments bleus ont une longueur égale à 1.
Si Ma est le milieu du côté BC, le trapèze (rectangle en A) ABMaMb est tangentiel au cercle inscrit, en particulier au niveau du point de Nagel sur MaMb.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Une contribution récente de Stanley Rabinowitz :
dans le triangle 3-4-5 le point de Nagel est sur le cercle inscrit.
Soit un triangle 3-4-5 tel que sur le schéma.
• AB = 3, AC = 4, BC = 5
• Mb = milieu du côté AC
• I = centre du cercle inscrit
• Ia, Ib, Ic = points de contact du cercle inscrit
• Na, Nb, Nc = points de contact des cercles exinscrits sur les côtés du triangle
• N = point de Nagel
• Ja, Jb, Jc = centres des cercles exinscrits

Quelques longueurs remarquables dans ce triangle :
tous les segments bleus ont une longueur égale à 1.
Si Ma est le milieu du côté BC, le trapèze (rectangle en A) ABMaMb est tangentiel au cercle inscrit, en particulier au niveau du point de Nagel sur MaMb.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
-
Bonjour
L'équation barycentrique du cercle inscrit est:$f(x,y,z)=-4(a^2yz+b^2zx+c^2xy) + (x+y+z)((-a+b+c)^2x+(a-b+c)^2y+(a+b-c)^2z)=0$Les coordonnées barycentriques du point de Nagel sont:$Na=[b-a+c; a-b+c; a+b-c]$On reporte les unes dans l'autre, ce qui donne:$g(a,b,c)=f(b-a+c,a-b+c,a+b-c)=(a+b+c)(a+b-3c)(a-3b+c)(b-3a+c)$Et il se trouve que $g(3,4,5)=0$Celà se produit donc quand la somme des longueurs de deux côtés du triangle $ABC$ est égale au triple de la longueur du troisième, ce qui n'a rien à voir avec le fait que le triangle soit rectangle.Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Si par contre, si on cherche un triangle rectangle dont le point de Nagel soit sur le cercle inscrit, il n'y a que le $3-4-5$, à un coefficient multiplicatif près, qui réponde à la question.
Cordialement,
Rescassol
-
Bonjour,
Une construction qui permet d'obtenir les triangles $ABC$ tels que $AB+BC=3AC$, à partir d'un point $B$ donné sur le cercle circonscrit : le centre $I$ du cercle inscrit à un tel triangle est sur le cercle de centre $P$ passant par $B$ (en vert), où $P$ est l'image de $B$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $1/3$. On calcule ensuite le rayon du cercle inscrit grâce à la relation d'Euler puis on trace les tangentes à ce cercle passant par $B$. En bleu le lieu du point de Nagel $N$ lorsque $I$ varie sur le cercle vert.Je n'ai pas trouvé comment construire les triangles $ABC$ tels que $AC+BC=3AB$ ou $AB+AC=3BC$ en partant aussi de $B$ sur le cercle circonscrit. -
Bonjour,
pour la judicieuse remarque de Rescassolpuis AB+AC= 3.BC p. 25Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Oui, Jean-Louis, d'ailleurs le symétrique du point de Nagel $Na$ par rapport au centre $I$ du cercle inscrit a pour coordonnées barycentriques $SNa=[3a-b-c; 3b-c-a; 3c-a-b]$.
Cordialement,
Rescassol
-
Ci-dessous une construction des triangles $ABC$ tels que $AB+AC=3BC$ à partir d'un point $B$ donné sur le cercle circonscrit. Je l'ai obtenue en brodant autour de la construction A1a de Jean-Louis.
$M$ point de $[OB]$, $M'$ et $M''$ ses symétriques par rapport à $O$ et $B$ respectivement. $E$ est un point d'intersection du cercle de centre $B$ passant par $M'$ avec le cercle de centre $O$ passant par $M''$. Le cercle de centre $E$ passant par $B$ recoupe le cercle circonscrit en $A$. La perpendiculaire à $(AE)$ passant par $A$ recoupe ce cercle en $C$.En vert le lieu du centre $I$ du cercle inscrit à $ABC$ lorsque $M$ varie sur $[OB]$. Ce n'est pas une feuille d'un trèfle, pas de chance. -
Pour en revenir aux propriétés particulières du triangle 3-4-5, en voici une ligne brisée régulière (segments perpendiculaires de longueur 1) de A à Ta (point de contact du A-excercle), passant par Tb, Fe (point de Feuerbach), I (centre inscrit), Na (point de Nagel), Ma (milieu de BC).
Par rapport au résultat précédent, j'ai trouvé et rajouté le point de Feuerbach, qui me permet d'afficher cette ligne brisée ... et quelques parallélogrammes en filigrane.
Et donc quelques propriétés, surtout algébriques :
JbJa // TbMa // ATa
JbJa = TbMa + ATa = JbC + CJa
JbC = TbMa = 2√2 and CJa = ATa = 3√2
Tb, I et Ma sont colinéaires
Tbl = IMa = √2
Fe est sur la A-cévienne ATa par définition par le point de Nagel
AFe = FeNa = NaTa = √2
ATb = TbFe = Fel = INa = NaMa = MaTa = TaB = 1
TbNa = NaB = √5 (forcément colinéaires)
= NaC
AC = JbFe = CTa = TaJa = 3
etc.
Aussi joli qu'inutile 😉
De toutes ces propriétés, il serait intéressant d'étudier lesquelles ne sont pas spécifiques du triangle k3-k4-k5, s'il en existe.
Jean-Pol Coulon
-
Bonjour,
avez-vous une référence de ce problème en amont?
Sincèrement
Jean-Louis
-
Bonjour JL Ayme
Ce sont des constatations personnelles ... au départ d'un post de S Rabinowitz à propos du point de Nagel sur le cercle inscrit.
Geogebra m'a beaucoup aidé.
J'ai trouvé le point de Feuerbach sur le maillage 1x1 un peu par intuition : je voulais y placer un point central pour parachever ma ligne brisée, et je l'ai trouvé.
Je n'ai donc rien en amont à proposer.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Rebonjour Jean-Pol,je parle du post de S Rabinowitz...Sincèrement
Jean-Louis -
Rebonjour JL Ayme,
Voici : RG 12530, autrement dit :
https://www.facebook.com/groups/parmenides52/permalink/6190159494431038/
Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Merci Jean-Pol pour votre réponse.
Je suis en train un chemin de traverse à la fois rayonnant et charmant pour montrer ce résultat.
Merci encore.
Sincèrement
Jean-Louis
-
Bonjour Jean-Pol,
merci pour m'aider à comprendre
Fe est sur la A-cévienne ATa par définition par le point de Nagel
Sincèrement
Jean-Louis
-
Bonjour JL Ayme,
C'est le quadrillage et l'alternance réguliers de ces différents points sur le maillage 1x1 et la ligne brisée 1/1/1 qui m'ont séduit et incité à publier, plus que les alignements particuliers.
Le point de Nagel est forcément (par définition de ce point) sur la A-cévienne se terminant sur le point de contact Ta du cercle A-exinscrit ... mais la présence du point de Feuerbach y est une surprise. -
Bonjour
En complément mnémotechnique donnant graphiquement les relations entre le rayon inscrit r = r₄︎ et les trois rayons exinscrits r₁︎, r₂︎, et r₃︎ dans le triangle rectangle en A.
c ≤︎ b < a
a² = b² + c²
r₄︎ < r₁︎ ≤︎ r₂︎ < r₃︎
Nous avons : r² = r₄︎² = (r₁︎² · r₂︎²)/r₃︎² ⇔ r = r₄︎ = (r₁︎ · r₂︎)/r₃︎
Dans le triangle 3-4-5
⇒
r₄︎ = 1, r₁︎ = 2, r₂︎ = 3, r₃︎ = 6r = r₄︎ = (r₁︎ · r₂︎)/r₃︎ en effet : 1 = (2·3)/6Cordialement
Jean-Pol Coulon. -
-
Bonjour,
je viens de retrouver un vieux papier datant de mars 2000 où j'avais listé les triangles primitifs (sans facteur commun) dont les côtés sont entiers inférieurs ou égaux à 30 et ayant le point de Nagel sur le cercle inscrit.
Voici ma liste des triangles (a, b, c) vérifiant b + c = 3a:(1, 1, 2) raplapla ; (2, 3, 3) isocèle ; (3, 4, 5) rectangle ; (4, 5, 7) ; (5, 6, 9) ; (5, 7, 8) ; (6, 7, 11) ; (7, 8, 13) ; (7, 10, 11) ; (8, 9, 15) ; (8, 11, 13) ; (9, 10, 17) ; (9, 11, 16) ; (9, 13, 14) ; (10, 11, 19) ; (10, 13, 17) ; (11, 12, 21) ; (11, 13, 20) ; (11, 14, 19) ; (11, 15, 18) ; (11, 16, 17) ; (12, 13, 23) ; (12, 17, 19) ; (13, 14, 25) ; (13, 15, 24) ; (13, 16, 23) ; (13, 17, 22) ; (13, 18, 21) ; (13, 19, 20) ; (14, 15, 27) ; (14, 17, 25) ; (14, 19, 23) ; (15, 16, 29) ; (15, 17, 28) ; (15, 19, 26) ; (15, 22, 23) ; (16, 19, 29) ; (16, 21, 27) ; (16, 23, 25) ; (17, 21, 30) ; (17, 22, 29) ; (17, 23, 28) ; (17, 24, 27) ; (17, 25, 26) ; (18, 25, 29) ; (19, 27, 30) ; (19, 28, 29) .Bien cordialement.
kolotoko -
Bonjour,
j'ai oublié de recopier le triangle (7 , 9, 12) .
Bien cordialement.
kolotoko -
Bonjour,
pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?Soit un triangle $(a, b, c)$, pour savoir si le point de Nagel est sur le cercle inscrit, il suffit de calculer $A = a^3 + b^3 + c^3$ ; $B = abc$ et $C = a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)$ et de vérifier que $3A + 34 B = 7C$.
Bien cordialement.
kolotoko -
Bonjour,
Vérifier que $3a=b+c$ ou permutation circulaire n'est pas plus compliqué.
Cordialement,
Rescassol
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres