Théorème des résidus

pierreaaaa

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre cet exercice.

a)  $\frac{t^{ \alpha } }{1+ t^{2} }  \geq 0$ et  $\frac{t^{ \alpha } }{1+ t^{2} } \rightarrow 0$. Donc elle est bien définie.

b) $z^{\alpha} = e^{\alpha ln(z)} \Leftrightarrow z^{\alpha} = e^{\alpha ln( \rho e^{i \theta )}} \Leftrightarrow z^{\alpha} = e^{\alpha (ln( \rho) + i \theta )}$. Et je bloque ici.

c) $ \lim_{ \varepsilon  \rightarrow  0^{+} }  (\rho e^{+i \varepsilon)^{ \alpha } } = \lim_{ \varepsilon  \rightarrow  0^{+} }  (\rho e^{-i \varepsilon)^{ \alpha } } =   \rho ^{ \alpha }$ ?

d) $Ind_{ \gamma  \varepsilon }( \pm i)= \frac{1}{2i \pi }  \int_{\gamma  \varepsilon}  \frac{dz}{z \pm i} = 0$ ; par le théorème de Cauchy
e) ok
f) Je n'arrive pas à utiliser les réponses précédentes pour la faire.

gerard0

Bonjour.
Je jette juste un coup d’œil rapide et je me demande ce que peut bien prouver le "tend vers 0" (je suppose en $+\infty$). En tout cas pas une convergence d'intégrale. De plus, il y a deux problèmes à traiter, en 0 il pourrait y avoir divergence.
Cordialement.

noobey

Hello ! As-tu bien compris le théorème de Cauchy?
Ta question c) est fausse aussi

pierreaaaa

gerard0

D'accord je vais essayer de traiter les 2 cas.

noobey
Alors non je pense que je n'ai pas très bien compris.

[Inutile de recopier les messages immédiatement précédents. AD]

Area 51

Bien qu'adorant à titre personnel les résidus, je sais aussi que si le "maître es intégrales" @FdP passe dans le coin, il dirait que ton intégrale vaut direct $\dfrac{1}{2} \beta \Big( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\alpha}{2}, \dfrac{1}{2} + \dfrac{\alpha}{2} \Big)$.

jean lismonde

Bonjour
le résultat proposé par Area 51 est le bon : on trouve bien $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha}}{1+t^2}dt = \frac{1}{2}\beta\Big(\frac{1-\alpha}{2}; \frac{1+\alpha}{2}\Big)$
soit encore  $$\frac{1}{2}\Gamma\Big(\frac{1-\alpha}{2}\Big) \Gamma\Big(\frac{1+\alpha}{2}\Big) = \frac{\pi}{2\cos\frac{\pi\alpha}{2}}$$ d'après les relations de la fonction eulérienne Gamma l'intégrale initiale ne converge sur la borne supérieure que si $- 1 < \alpha < 1$ .

On vérifie bien que le résultat de l'intégration est pair en $\alpha$ et d'autre part que ce résultat est $\pi/2$ pour $\alpha$ nul

Le résultat d'Area est obtenu aussi avec le résultat classique d'intégration avec $x$ réel supérieur ou égal à 2
$$\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x} = \frac{\pi}{x\sin\frac{\pi}{x}}$$ et le changement de variables muettes qui permet d'obtenir
$$\int_0^{+\infty}\frac{u^{\alpha}}{1+u^2}du=\frac{\pi}{2\sin(\alpha+1)\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2\cos\frac{\pi\alpha}{2}}$$
Cordialement.

pierreaaaa

Area 51 jean lismonde Merci beaucoup je vais essayer de retrouver ce résultat avec le théorème des résidus

pierreaaaa

a) $ \lim_{t \rightarrow 0^+ } \frac{t^{ α } }{1+ t^{2} }  \leq  \lim_{t \rightarrow 0^+ }  t^ \alpha  = 0$ et $ \lim_{t \rightarrow +\infty } \frac{t^{ α } }{1+ t^{2} }  \leq \lim_{t \rightarrow +\infty}  \frac{t^ \alpha}{t^2}  = \lim_{t \rightarrow +\infty}  \frac{1}{t^{2- \alpha }} = 0$ pour $\alpha \in ]-1,1[$

b) Je n'ai pas compris comment utiliser la détermination du logarithme complexe. Faut-il faire ça : $z^{ \alpha } =   \rho ^{ \alpha } e^{i \varepsilon  \theta } = e^{ \alpha (ln( \rho )+i \theta )} = e^{ \alpha Log_{C\Re+}(z)}$

c) $Ind_{ \gamma  \varepsilon }( \pm i) = \pm Res_{z=\pm i}\frac{z^\alpha}{1+z^2} =  \pm  \frac{  (\pm i)^{ \alpha } }{2i}$

gerard0

Pour ton a), regarde ce que ça donne pour $\alpha = 0$ ou $\alpha = -\frac 1 2$.

De plus ça ne justifie pas la convergence de l'intégrale en $+\infty$. Par exemple $\lim\limits_{t\to +\infty} \frac 1 t =0$ mais $\int_1^{+\infty} \frac 1 t \ dt$ diverge.
Cordialement.

pierreaaaa

gerard0 Alors est-ce que je peux directement utiliser le théorème de continuité sous l'intégrale ?

gerard0

Pour le 1 ? Je ne sais pas de quel théorème tu parles, celui que je connais avec ce nom suppose l'intégrale déjà bien définie. Plus simplement applique ton cours sur les intégrales généralisées et leur convergence (C'est manifestement le moment de l'apprendre !).
Cordialement.

pierreaaaa

gerard0 C'est celui-ci

gerard0

Ok.
C'est un mélange entre le théorème de convergence dominée et le théorème de continuité sous l'intégrale. Ça me semble bien compliqué pour justifier la convergence d'une intégrale généralisée (niveau L1 !). Vu ce que tu as écrit jusqu'ici (des "tend vers 0" n'ont aucun rapport ni avec la convergence, ni avec ce théorème), je doute que tu arrives à l'utiliser. Comment rédiges-tu ?

JLapin

@pierreaaaa
Avant d'étudier des fonctions définies par des intégrales et le théorème des résidus, tu devrais reprendre à zéro la notion de convergence d'une intégrale impropre et ses premiers exemples d'utilisation des relations de comparaison pour démontrer une telle convergence.

Area 51

Histoire de dire qu'on peut aussi le faire "honnêtement", prendre un contour (droite réelle + demi-cercle supérieur) i.e. un unique pôle en $t=i$ à considérer. Alors $(1+e^{i\pi \alpha})$ fois ton intégrale est égal à $\pi \exp \Big( i\dfrac{\pi \alpha}{2} \Big)$, d'où $\dfrac{\pi}{2} \text{sec} \Big( \dfrac{\pi \alpha}{2} \Big)$.