Comportement asymptotique de la transformée de Fourier

un_kiwi
Modifié (May 2023) dans Analyse
Bonjour
Je souhaite montrer que, pour tout $f\in L^1(\mathbb{R})$
$\displaystyle \lim_{|x|\to +\infty}\widehat{f}(x):=\lim_{|x|\to +\infty} \int_\R f(t)e^{-itx}\ dt = 0$.
Pour cela, j'utilise la densité des fonctions en escalier dans $L^1(\mathbb{R})$. Je justifie que ce résultat est valable lorsque $f$ est une indicatrice d'un intervalle, puis lorsque $f$ est en escalier. Là où j'ai du mal, c'est pour exploiter la densité. Par densité, quelle que soit $f\in L^1(\mathbb{R})$, on peut trouver une suite de fonctions en escaliers $(f_n)$ telle que $ \displaystyle  \lim_{n\to +\infty} \| f-f_n\|_1=0$. Alors
$| \widehat{f}(x) - \widehat{f_n}(x) | = | \widehat{f-f_n}(x) |\le \| f-f_n\|_1\xrightarrow[n\to {+\infty}]{} 0$.
Donc $( \widehat{f_n})$ converge simplement vers $\widehat f$. Est-ce que je peux en conclure que $\displaystyle \lim_{|x|\to +\infty}\widehat{f}(x)= 0 $ ?
Le problème est que je ne pense pas pouvoir intervertir les deux limites
$\displaystyle \lim_{|x|\to +\infty} \lim_{n\to +\infty}\widehat{f_n}(x) = \lim_{n\to +\infty} \lim_{|x|\to +\infty} \widehat{f_n}(x)$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Tu sais que ce résultat s'appelle le lemme de Riemann-Lebesgue ? Tu trouveras probablement plein de démonstrations sur Internet qui détaillent cette interversion de limites.
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