Action de groupe, libre et propre, ouverts disjoints

Barjovrille

Bonjour je suis en train de lire le livre Riemannian Geometry de Gallot, Hulin, Lafontaine. Le théorème 1.88 dit

Soit $G$ un groupe discret de difféomorphismes  de $M$, ($G$ est muni de la topologie discrète, $M$ est une variété lisse). Si $G$ agit proprement et librement sur $M$ (acts freely and properly) alors il existe une unique structure de variété lisse sur l'espace quotient $M/G$ tel que la projection $p : M \mapsto M/G$ est un revêtement.

La démonstration commence par
Comme $G$ agit proprement alors $M/G$ est séparé, (ici pas de problème). Deux phrases qui me posent problèmes

1) Puisque $G$  agit librement, pour tout $x \in M$ il existe un ouvert $U$ qui contient $x$, tel que  les ouverts $gU$ sont disjoints deux à deux avec $g$ parcourant $G$.
2) On a alors $p$ est un homéomorphisme de $U$ dans $p(U)$.
(Rappel $G$ agit librement si $\forall g \in G,\ ( g \neq Id \Rightarrow \forall x \in M,~~ gx \neq x)$)
Si quelqu'un a une idée ou d'autres références (sur les actions de groupes/topologie quotient) je suis preneur.

raoul.S

Il faut vraiment que tu t'achètes le Godbillon

La proposition 6.9 répond à 1) et le corollaire 6.10 à 2) (bon en fait 2) est évident car $p$ est ouverte).





Par contre il faut un peu s'accrocher j'avoue. Dis-moi si tu ne comprends pas certaines parties je te posterais le reste du bouquin

JLT

1) Comme l'action est libre et propre, l'application $f:(g,x)\mapsto (x,gx)$ est un homéomorphisme de $G\times M$ sur son image. Comme $\{e\}\times M$ est un voisinage de $(e,x)$, il existe un ouvert $U$ contenant $x$ tel que $f^{-1}(U\times U)\subset \{e\}\times M$. Si maintenant $gU\cap hU\ne\emptyset$ alors il existe $y\in U$ tel que $h^{-1}gy\in U$, donc $f(h^{-1}g,y)\in U\times U$, ce qui entraîne $g=h$.

Barjovrille

Merci pour vos réponses rapides

@JLT ta démonstration est efficace et claire, juste le point $f$ est un homéomorphisme tu utilises que $f$ est fermé car l'action est propre, c'est ça ?

@raoul.S Avec tes avertissements j'avais prévu le Godbillon pour plus tard , en fait le livre que je lis est très bien mais des fois j'ai l'impression qu'il fait des accélérations sur la topo (alors que moi je suis un peu à la traine), pour plus se concentrer sur la géo diff, et puis avec les extraits que tu m'as montré le Godbillon complète les passages "topo accéléré" (et va peut être plus loin). Donc je pense que je vais suivre ton conseil et le prendre.

J'ai une question sur la démonstration de 6.9,  est ce que tu peux me montrer/dire la définition de ton livre de $G$ opère proprement parce que avec moi j'ai la définition suivante : Soit $x \in M$ et $y\in M$ qui n'est pas dans l'orbite de $x$ alors il existe $V$ et $W$ voisinage de $x$ et $y$ respectivement tel que pour tout $g \in G$, $gV \bigcap W = \emptyset$.

Or pour avoir l'existence du compact $K$ tel que ... et que l'ensemble $G_k$ est fini il utilise la "propreté" ? Mais je ne vois pas trop comment la définition que je viens de citer permet de conclure et j'ai cru voir qu'il y avait plusieurs définitions de opérer proprement (c'est aussi pour cette raison ma question pour JLT).

Effectivement pour le 2) oui ce n'est pas très dur il n'y a que l'injectivité à montrer si on remarque que la projection est ouverte. 

raoul.S

Barjovrille a dit : 

J'ai une question sur la démonstration de 6.9,  est ce que tu peux me montrer/dire la définition de ton livre de $G$ opère proprement... ?

La définition est $G$ opère proprement si $G_K$ est relativement compact dans $G$ pour tout compact $K$ de $E$. Dans le cas $G$ discret ceci est équivalent à demander $G_K$ fini.

Pour le bouquin je disais ça comme ça, il faut regarder la table des matières pour voir s'il peut t'être utile.

JLT

@Barjovrille oui

Barjovrille

Merci pour vos réponses.