Surjection et bijection réciproque

GTG
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Modifié (May 2023) dans Algèbre
Bonjour !
Dans le volume d'algèbre de Gautier et alii, dans les exercices du chapitre 2 de la partie I, on trouve l'énoncé d'exercice suivant.
Montrer que la fonction $x\mapsto\sqrt{2x-3}$ est une bijection de son ensemble de définition sur $\mathbb{R}_+$ et déterminer sa bijection réciproque.
Voici ma démonstration.
La fonction $f$ est définie sur $\mathscr{E}_f = ]\frac{3}{2},+\infty[$. Soient $x$ et $x'$ deux éléments quelconques de $\mathscr{E}_f$ tels que $f(x)=f(x')$. $f(x)=f(x') \Rightarrow \sqrt{2x-3} = \sqrt{2x'-3} \Rightarrow 2x-3 = 2x'-3 \Rightarrow 2x = 2x' \Rightarrow x=x'$ : $f$ est injective.
\begin{align*}
 \forall y\in\mathbb{R}_+,\quad y=\sqrt{2x-3} & \iff y^2=2x-3 \\
    & \iff y^2+3 = 2x \\
    & \iff \frac{y^2+3}{2}=x
\end{align*}
Ainsi, quel que soit $y\in\mathbb{R}_+$, il existe $x=\frac{y^2 + 3}{2}\in\mathscr{E}_f$ tel que $f(x) = y$ : $f$ est surjective. Donc $f$ est une bijection. Sa bijection réciproque est $f^{-1}:y \mapsto \frac{y^2 + 3}{2}$.
J'ai l'intuition que la partie sur la surjection est problématique parce qu'elle semble présupposer ce qu'il faut démontrer. Je me trompe ? Quelle meilleure voie emprunter svp ?
Je me remets à niveau en vue de faire une thèse en sociologie et/ou de passer l'agrégation de SES. Pour l'instant, le niveau en question est entre la Terminale S et la L1. J'utilise le manuel ForMath de Gautier et alii. Mon pseudo est une référence au mathématicien Georges-Théodule Guilbaud.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (May 2023)
    Bonjour.
    Non, on ne présuppose pas ce qu'il faut démontrer. On part d'une hypothèse (vraie ou fausse) et on obtient une conclusion qui est équivalente.
    Si ça te gène, tu peut remplacer les deux étapes par :
    "Résolvons l'équation $y=f(x)$ d'inconnue $y$. .... donc $x=\dots$"
    Tu trouves, pour tout $ y\in \R_{+}$ une solution et une seule, et tu as donc prouvé que $f$ est une bijection de l'ensemble des $x$ qui permettaient d'écrire $f(x)$ dans $\R_{+}$, et même exprimé la fonction réciproque.
    C'est le même calcul, et tu sautes la partie injection.
    Cordialement.
  • Bonjour et merci @gerard0 !
    Ta réponse clarifie mes idées et allège la démonstration. Pour vérification, j'ai appliqué sur l'exercice suivant :

    Montrer que la fonction $x\mapsto\sqrt{x^2-3}$ est une bijection de $]-\infty,-\sqrt{3}]$ sur $\mathbb{R}_+$ et déterminer sa bijection réciproque.

    La démonstration donne :
    Résolvons l'équation $y=f(x)$ d'inconnue réelle positive $y$, avec $x\in]-\infty,-\sqrt{3}]$.
    \begin{align*}
     y = f(x) & \iff y = \sqrt{x^2-3} \\
    & \iff y^2 = x^2-3 \\
    & \iff y^2+3 = x^2 \\
    & \iff x = \sqrt{y^2+3}\ (\text{exclu puisque } x<0) \text{ ou } x=-\sqrt{y^2+3}
    \end{align*}
    Ainsi, quel que soit $y\in\mathbb{R}_+$, il existe un unique $x\in ]-\infty,-\sqrt{3}]$ tel que $y=f(x)$ : $f$ est une bijection de $]-\infty,-\sqrt{3}]$ vers $\mathbb{R}_+$. Son application réciproque est $f^{-1}:y\mapsto -\sqrt{y^2+3}$.
    Je me remets à niveau en vue de faire une thèse en sociologie et/ou de passer l'agrégation de SES. Pour l'instant, le niveau en question est entre la Terminale S et la L1. J'utilise le manuel ForMath de Gautier et alii. Mon pseudo est une référence au mathématicien Georges-Théodule Guilbaud.
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