Perturber, mais pas trop

john_john

Bonjour à tous,
voici une question que je me suis posée au détour d'un exercice ; cela me permettra (et à ceux d'entre vous qui seront intéressés) de proposer un exo de colle peut-être inédit.

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite satisfaisant à la relation $u_{n+1}=(\alpha+\varepsilon_n)u_n+(\beta+\varepsilon'_n)u_{n-1}$, où  $\alpha$ et $\beta$ sont strictement positifs et de somme $1$ et où $\sum\varepsilon_n$ [et] $\sum\varepsilon'_n$ sont absolument convergentes ; montrer que cette suite converge.

Cela doit se généraliser sans doute, mais ce cas-là me semble déjà représentatif.

Boécien

Salut, je pense que ton alpha doit être inférieur à 2. Si on prend le cas non perturbé $u_{0}=x,\ u_{1}=y$ et $0<a<2$ et $$u_{n}=au_{n-1}+(1-a)u_{n-2},$$ on a sauf erreur $$u_{n}\rightarrow\frac{x\left(1-a\right)+y}{2-a}.$$
Si $a\geq2$ cela diverge.

BobbyJoe

*On montre d'abord que la suite $u$ est bornée.

On a pour $n\in \mathbb{N},$ $$\vert u_{n+2} \vert \leq \max(\vert u_{n} \vert,\vert u_{n+1}\vert)\left(\alpha+\beta+\vert \varepsilon_{n}\vert +\vert \varepsilon'_{n}\vert\right)= \max(\vert u_{n} \vert,\vert u_{n+1}\vert)\left(1+\vert \varepsilon_{n}\vert +\vert \varepsilon'_{n}\vert \right).$$

On montre alors par récurrence double : $$\forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } \vert u_{n}\vert \leq \max(\vert u_{0}\vert,\vert u_{1}\vert)\prod_{k=0}^{n-2}\left(1+\vert \varepsilon_{n}\vert +\vert \varepsilon'_{n}\vert\right).$$

La suite $u$ est alors bornée car par hypothèse, $\displaystyle \sum_{k\geq 0}\vert \varepsilon_{k}\vert<+\infty \mbox{ et } \sum_{k\geq 0}\vert \varepsilon'_{k}\vert <+\infty.$

**Ensuite, on  essaie de procéder comme pour "résoudre" des équations différentielles.

On considère l'équation homogène associée puis on trouve une solution fondamentale. On a alors l'expression "explicite" de la suite que l'on travaille un peu pour conclure.

Pour le problème que l'on regarde, on cherche les suites $(y(n))_{n\geq 0}$ telles que : $$\forall n\geq 0,\ y(n+2)-\alpha y(n+1)-\beta y(n)=\varepsilon_{n}u_{n+1}+\varepsilon'_{n}u_{n}:=h(n).$$
Une solution fondamentale est par exemple $(v(n))_{n\geq 0}$ où $$v(0)=\frac{\beta-1}{\beta} \quad\mbox{ et }\quad \forall n\geq 1,\ \mbox{ } v(n)=(-\beta)^{n}.$$
Ainsi, il existe deux constantes $A$ et $B$ réelles telles que : $$\forall n\in \mathbb{N},\quad\mbox{ } u_{n}=A+B(-\beta)^{n}+\sum_{k=0}^{n}v(k)h(n-k).$$
On montre alors que $w(n):=\sum_{k=0}^{n}v(k)h(n-k)$ a une limite lorsque $n$ tend vers l'infini en appliquant le théorème de convergence dominée pour la mesure de comptage (vu que la suite $u$ est bornée).

john_john

Bonjour, Boécien,
certes, mais $\alpha$ est, par le fait, dans $]0,\,1[$ vu mes hypothèses.

bd2017

Je n'ai pas lu les autres réponses ..

Voici le début de ma démarche

Je pose : $
A=\left(
\begin{array}{cc}
 0 & 1 \\
 1-\alpha  & \alpha \\
\end{array}
\right)$  et  $  M_n=\left(
\begin{array}{cc}
 0 & \\
 \epsilon'(n) & \epsilon'(n) \\
\end{array}
\right)
$

$A_n=(A + M_n),$    $U_n=(u_n,u_{n+1)}.$

On a $V_{n}=A_{n}\cdots A_1 V_0$

Donc  $V_{n+p}- V_n= (I_2-\prod_{j=n+1}^{p} A_j )\prod_{j=1}^{n} A_j  V_0$  

Avec la choix de la norme matricielle  $||A|| =\max|a_{ij}|$ on a $||A||=1$  et $||M_n||=\epsilon''_n=\max (|\epsilon_n|,|\epsilon'_n|) $ qui  est absolument convergent

On a alors $\|\prod_{j=1}^n A_j\| \leq \prod_{j=1}^n (1+ \epsilon ''_n)$ qui est un produit infini convergent
 (ce  qui assure déjà que la suite $U_n$ est bornée et on peut en extraire une suite convergente).

N'ayant plus le temps (mes invités vont arriver...) j'aurais fini par montrer que :
 $||I_2-\prod_{j=n+1}^{p} A_j || $  est aussi petit que l'on veut  pourvu que $n$ soit assez grand.
Donc suite suite de Cauchy et donc convergence.

Boécien

john_john a dit :

Bonjour, Boécien,
certes, mais $\alpha$ est, par le fait, dans $]0,\,1[$ vu mes hypothèses.

Sorry !

Pomme de terre

Une approche un peu différente de [celle de] BobbyJoe

(1) On commence par montrer que $(u_n)$ est bornée en remarquant par récurrence immédiate que pour tout $n \geq 1$,

$$\max\{|u_n|,|u_{n-1}|\} \leq \max\{|u_1|,|u_0|\}\prod_{k=1}^{n-1}(1+|\epsilon_k| + |\epsilon'_k|),$$

où la convergence du produit se déduit facilement de la convergence absolue des séries.

(2) On montre que la suite télescopique définie par $\delta_n = u_n - u_{n-1}$ vérifie $\sum_{n=1}^{+\infty}|\delta_n| < \infty$.

On pose $r_n = \epsilon_n u_n + \epsilon'_n u_{n-1}$ qui vérifie $\sum_{n=1}^{+\infty} |r_n| < \infty$ par (1).

La relation $\delta_{n+1} = -\beta \delta_n + r_n$ conduit à : $$\frac{\delta_n}{(-\beta)^n}  = \frac{\delta_1}{-\beta} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{r_k}{(-\beta)^{k+1}}.$$

La conclusion vient alors du fait que $0 < \beta < 1$ et, par interversion de sommes,

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=1}^{n-1} |r_k|\beta^{n-k-1} = \frac{1}{\alpha} \sum_{k=1}^{+\infty} |r_k|.$$

[Pour comprendre la réponde de john_john : j'avais initialement noté $w_n$ au lieu de $\delta_n$.]

john_john

Boécien : j'ai choisi $\alpha$ et $\beta$ tels que $1$ soit zéro du polynôme caractéristique de l'équation non perturbée, mais on peut aller au-delà, pourvu que les zéros soient $1$ et/ou des complexes de module $<1$.

bd2017 : j'ai moi aussi l'utilité (voire la nécessité) de commencer par montrer que $(u_n)$ est bornée, cela pour gérer l'effet des perturbations.

john_john

Je n'avais pas vu la contribution de BobbyJoe ! Effectivement, cela règle des cas plus généraux mais au prix d'une rédaction plus compliquée. Ma rédaction s'apparente à celle de Pomme de terre (qui a dû apparaître pendant que je tapais des réponses) : montrer que $(u_n)$ est bornée, la tranformer en série (notation $w_n$ de Pomme de terre) puis montrer, en posant $w_n=\beta^nz_n$, que $\sum w_n$ est le produit de Cauchy de deux séries AC plus un terme correctif lui-même AC.
En fin de compte, toutes ces méthodes reviennent à des variations de constantes.

BobbyJoe

L'approche que j'ai donnée permet de remarquer que le résultat de convergence (de la suite $u$) subsiste encore si les suites $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ tendent seulement vers $0.$

Boécien

Cela marche-t-il encore si on allège la condition $\sum\varepsilon_{n},\sum\varepsilon'_{n}$ AC par $\sum\varepsilon_{n},\sum\varepsilon'_{n}$ convergentes?

john_john

BobbyJoe : je vais m'en assurer, mais il me semble que ta généralisation ne va pas se vérifier : partant de la suite constante $u_n=(1)$ qui satisfait à $u_{n+1}=(u_n+u_{n-1})/2$, je pose $u_n=v_n/n$ et je pense obtenir ainsi un contre-exemple.

Boécien : plausible, mais à vérifier itou.

BobbyJoe

J'ai du réécrire ce que j'avais fait car il y avait des erreurs (de décalage d'indice...).

john_john

Je confirme mes doutes : la suite $n\mapsto n$ satisfait à $u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}u_n+\frac{n+1}{2(n-1)}u_{n-1}$ mais ces coefficients sont de la forme $\frac12+\varepsilon^{(')}$, où $\varepsilon^{(')}$ tend vers $0$.

john_john

J'ai du mal à me faire une idée à propos de la dernière question de Boécien (allégement des hypothèses) ! Si l'on sait montrer que $\sum(\varepsilon_nu_n+\varepsilon'_nu_{n-1})$ converge, alors la série $\sum(u_{n+1}-u_n)$ converge aussi (le théorème de Mertens s'applique dans ce cas) : il s'ensuit alors la convergence de la suite $(u_n)$.
Je sais aussi montrer que, si une suite solution $(u_n)$ admet, en valeur absolue, un minorant $>0$, alors, pour toute solution $(v_n)$, le rapport $v_n/u_n$ admet une limite finie, mais je suis encore loin du résultat. Toutefois, c'est peut-être une voie puisque la suite constante $(1)$ est solution de l'équation non perturbée.