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Marche aléatoire symétrique unidimensionnelle

Bonjour, tout d'abord je présente l'énoncé.
On considère $X_{n}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d. centrées de paramètre 0.5. On pose $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ et $\mathcal{F}_{n}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{n}\right)$
On montre facilement que la famille des $S_{n}$ est une martingale. En effet, c'est un processus adapté, $\mathbb{E}(|S_{n}|)$ est finie et on a $\mathbb{E}\left[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right]=\mathbb{E}\left[S_{n} \mid \mathcal{F}_{n}\right]+\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right]=S_{n}+\mathbb{E}\left[X_{n+1}\right]=S_{n}$.

J'aimerais montrer différemment que c'est une martingale.
La loi de $S_{n+1}$ conditionnellement à $\mathcal{F}_{n}$ prend les valeurs de $S_{n}+1$ avec probabilité $0.5$ et $S_{n}-1$ avec probabilité $0.5$.
Donc l'espérance de cette loi vaut $\mathbb{E}\left[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right]=0.5(S_{n}+1)+0.5(S_{n}-1)=S_{n}$. 

Ce raisonnement est-il juste ?
Merci d'avance !
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Réponses

  • Tu utilises le fait que $(S_n)_n$ est une chaine de Markov et oui c'est correct. De manière générale si ta matrice de transition est $\{ P(x, y) \}_{x, y} $, alors $\mathbf{E}[ S_{n+1} | \mathcal{F}_n ] = \mathbf{E}[ S_{n+1} | S_n ] = \sum_{y \in E} y \times P(S_n, y) $.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Modifié (May 2023)
    Bonjour, si j'ai bien lu il y a un problème.
    Tu as écrit on montre facilement que $S_n$ est une martingale et tu as écrit
    $S_n+ E(X_{n+1})=S_n$. Mais $X_{n+1}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0.5$ l'espérance n'est pas nulle, et tu n'as pas de martingale. Et vu ce que tu as écrit après les $X_n$ ne sont pas des v.a de Bernoulli est-ce que tu as mis le bon énoncé ?
    Edit : c'est bon en fait je n'ai pas vu l'hypothèse "centrée". 
  • Il faut juste corrigé dans la loi conditionnelle de $S_{n+1}$, c'est $S_n -0.5$ et $S_n+ 0.5$. Car une Bernoulli centrée prend les valeurs $\{-0.5,0.5\}$ (ça n'a pas une grande incidence sur le résultat final).
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