Morphisme de revêtements

Houdini195

Bonjour
Il semblerait que sous certaines hypothèses un morphisme de revêtement $f$ entre $p$ et $p'$ soit nécessairement un revêtement. Lorsque j'essaye de rédiger une preuve, j'ai l'impression d'avoir besoin d'hypothèses de connexité locale pour qu'étant un ouvert de l'espace de base qui trivialise mes deux revêtements, l'image par $f$ d'un ouvert de la réunion qui constitue $p^{-1}(U)$ soit bien contenue dans un seul des ouverts de celle qui constitue $p'^{-1}(U)$. Comme je ne connais pas grand chose à toutes ces subtilités topologiques, j'aurais bien voulu votre avis.
Merci par avance.

Barjovrille

Bonjour, juste pour qu'on soit d'accord sur ta question.

Soit $B$ l'espace de base comme tu l'appelles, tu prends deux revêtement de $B$, $p$ et $p'$ et tu prends $f$ une fonction qui va de l'espace de départ de $p$ vers l'espace de départ de $p'$ et ta question est : c'est quoi les conditions  pour que $f$ soit un revêtement de l'espace de départ de $p'$. C'est bien ça ?

raoul.S

J'ai la proposition suivante dans l'un de mes bouquins : Soient $p:E\to B$ et $p':E'\to B$ deux revêtements connexes (donc $E$ et $E'$ sont connexes) de base $B$ et $f:E\to E'$ un morphisme entre $p$ et $p'$. Si $B$ est localement connexe $f$ est un revêtement.

Houdini195

C'est ça Bajovrille.

Super raoul.S, déjà je suis content de voir l'hypothèse de connexité locale. Par contre, je ne vois pas vraiment où la connexité de $E$ et $E'$ peut intervenir.

Merci à vous !

Thierry Poma

Houdini195 : bonjour. Je dois avoir le même livre que @raoul.S dont voici le texte intégral :

Extrait du livre Eléments de topologie algébrique de Claude Godbillon.

Thierry Poma

Il faudra que je m'y mette un jour, avec le Bourbaki.

Thierry Poma

Houdini195 : pour compléter le tout, voici la proposition 2.2 à laquelle l'auteur se réfère :

J'ai hâte de m'y mettre.

raoul.S

@Thierry Poma oui c'est bien ce bouquin.

@Houdini195 je ne me suis pas plongé là dedans depuis un moment mais il faut que $E'$ soit connexe pour garantir que ton morphisme soit surjectif. En effet on montre que $f(E)$ est ouvert et fermé donc égal à $E'$ si ce dernier est connexe.

Par contre, en ce qui concerne la connexité de $E$ je pense qu'elle est superflue (lire la preuve du Godbillon postée par Thierry ci-dessus, l'hypothèse n'est pas utilisée je crois).

Si je ne me trompe pas voici un exemple où $E= \R \sqcup \R$ n'est pas connexe : 

$$\xymatrix{ E:=\R \sqcup \R \ar[rr]_p \ar[rd]_p && E':=\mathbb{S}_1 \ar[ld]_{id} \\ & B:=\mathbb{S}_1 }$$

avec $p:\R \sqcup \R\to \mathbb{S}^1, (x,j)\mapsto e^{2i \pi x}$ avec $j\in \{0,1\}$.

Remarque : Il se trouve que si $p:E\to B$ est un revêtement et si $B$ est connexe et localement connexe alors la restriction de $p$ à une composante connexe de $E$ est également un revêtement. Ce qui fait que lorsque $B$ est connexe et localement connexe on peut sans perte de généralité supposer que $E$ est connexe quitte à considérer la restriction de $p$. C'est la raison pour laquelle je pense que Godbillon suppose que $E$ est connexe.

Barjovrille

Merci pour la référence et vos précisions .

raoul.S

Le Godbillon est bien mais il faut s'accrocher.
J'ajoute un contre-exemple qui montre qu'on ne peut pas supprimer l'hypothèse $E'$ connexe :

soit $X$ connexe et localement connexe, on a le diagramme suivant 

$$\xymatrix{ E:=X \ar[rr]_f \ar[rd]_{id} && E':=X\times \{1,2\} \ar[ld] \\ & B:=X }$$

avec $f$ l'injection de $X$ dans $X\times \{1\}$.

On voit bien que $(E,f)$ n'est pas un revêtement car $f$ n'est pas surjective.

Houdini195

Merci beaucoup pour ces réponses pleines d'enseignements !

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

raoul.S
Cependant, certains auteurs (comme celui sur lequel je m'appuie) ne demandent pas nécessairement la surjectivité...

raoul.S

Ok je ne savais pas. Dans ce cas je pense bien que l'hypothèse de connexité est superflue également pour $E'$.

Houdini195

D'accord merci beaucoup. (d'ailleurs comme un revêtement est toujours surjectif quand $B$ est connexe et $E$ non-vide, par la même preuve que dans ce cas particulier je pense)