Quadrilatère complet avec 2 angles opposés congruents

gipsyc
Modifié (May 2023) dans Géométrie
Bonjour,

Un problème de cocyclité.

Soit un quadrilatère complet ABCD tel que sur le schéma avec
   AB ∩ CD = P
   AD ∩ BC = Q
   M = milieu du segment PQ
   E = BD ∩ PQ
   ∠BAD = α et ∠BCD = γ 
   d = bissectrice de l'angle ∠ADC
   b = bissectrice de l'angle ∠ABC

Montrer que si, et seulement si,
   α = γ 
ou, proposition équivalente,
   b // d
alors
   les points A, C, M et E sont cocycliques 

Cordialement,

Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    Le lieu de tels points $D$, une fois $ABC$ fixé, est une hyperbole équilatère circonscrite  centrée au milieu $Ce$ de $[AC]$.
    Elle a pour équation barycentrique $- c^2xy + a^2yz + (a^2-c^2)zx=0$ et recoupe le cercle circonscrit en un quatrième point $N=[a^2S_a; -S_aS_c; c^2S_c]$.
    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (May 2023)
    Merci Rescassol
    Beau rappel, pour l'orthocentre, de l'égalité des angles qu'il sous-tend en A et C avec B, comme tout point D de l'hyperbole.
    Quelques autres angles congruents remarquables 

    Beau dimanche,
    Jean-Pol Coulon
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