Quadrilatère complet avec 2 angles opposés congruents
Bonjour,
Un problème de cocyclité.
Soit un quadrilatère complet ABCD tel que sur le schéma avec
AB ∩ CD = P
AD ∩ BC = Q
M = milieu du segment PQ
E = BD ∩ PQ
∠BAD = α et ∠BCD = γ
d = bissectrice de l'angle ∠ADC
b = bissectrice de l'angle ∠ABC

Montrer que si, et seulement si,
α = γ
ou, proposition équivalente,
b // d
alors
les points A, C, M et E sont cocycliques
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Un problème de cocyclité.
Soit un quadrilatère complet ABCD tel que sur le schéma avec
AB ∩ CD = P
AD ∩ BC = Q
M = milieu du segment PQ
E = BD ∩ PQ
∠BAD = α et ∠BCD = γ
d = bissectrice de l'angle ∠ADC
b = bissectrice de l'angle ∠ABC

Montrer que si, et seulement si,
α = γ
ou, proposition équivalente,
b // d
alors
les points A, C, M et E sont cocycliques
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonjour
Le lieu de tels points $D$, une fois $ABC$ fixé, est une hyperbole équilatère circonscrite centrée au milieu $Ce$ de $[AC]$.Elle a pour équation barycentrique $- c^2xy + a^2yz + (a^2-c^2)zx=0$ et recoupe le cercle circonscrit en un quatrième point $N=[a^2S_a; -S_aS_c; c^2S_c]$.
Cordialement,
Rescassol -
Merci Rescassol
Beau rappel, pour l'orthocentre, de l'égalité des angles qu'il sous-tend en A et C avec B, comme tout point D de l'hyperbole.
Quelques autres angles congruents remarquables
Beau dimanche,
Jean-Pol Coulon
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Bonjour!
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