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Développement leçon 120 par Pandou

Modifié (May 2023) dans Algèbre
Bonjour
Vous trouvez ci-joint le développement de la leçon 120 par Pandou, auteur du corrigé de Maths A X 2023. Il est vraiment riche. Je trouve jolis les lemmes 30 et 32.
Le 😄 Farceur


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Réponses

  • Modifié (May 2023)
    Intéressant et riche, d'un très haut niveau aussi donc si c'est pour un oral de l'interne : à raccourcir et bien s'assurer que l'on sait faire les différentes preuves du cours je pense.
    Autre remarque : le jury va sans doute critiquer la définition 1 si elle est laissée comme ceci lors de la présentation du plan en disant que ce n'est pas une définition mais plutôt une "propriété-définition". ^^'
  • Même pour l'interne, je trouve qu'il n'y aurait pas grand chose à retirer dans ce plan, si ce n'est le développement I et la partie applications à modifier : il y a beaucoup de résultats classiques. Mais globalement ses plans semblent de très haut niveau, comme beaucoup de ceux du site agreg-maths (mais ça, ce n'est pas la faute du site : chacun est libre de contribuer en publiant ses plans).
  • Modifié (May 2023)
    Je comprends quasiment tout ce qui est écrit sauf la partie sur les groupes abéliens finis donc je pense que c'est du niveau de l'interne pour les tous meilleurs candidats, si on enlève la structure des groupes abéliens finis (hors programme).
    Après je ne me risquerais pas à présenter l'application sur $SO_2(\mathbf{F}_q)$,
  • Dans ce cas démontre  moi le lemme 32   :'(
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (May 2023)
    Les autres développements de Pandou sont ici https://agreg-maths.fr/users/44692
  • gebrane a dit :
    Dans ce cas démontre  moi le lemme 32   :'(
    Lambda n'est pas défini je ne vais pas démontrer un lemme mal écrit.
  • En effet certains énoncés sont mal rédigés. 
    Le lemme 30 met tout de même sur la voie.
  • Modifié (May 2023)
    Je te reformule le lemme 32
    Démontre  pour tout k impair que $$2^{k+2}\mid (5^{2^k}-1).$$
    Le 😄 Farceur


  • Du coup tu as un $n$ qui n’est pas encore né. 
  • Dom coquille corrigée, si la question t’intéresse tu peux l'attaquer
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (May 2023)
    Bonne nuit,

    Une récurrence utilisant $5^{2^{k+1}}-1=(5^{2^k}-1)(5^{2^k}+1)$
    Et pourquoi $k$ impair ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (May 2023)
    @Rescassol Bonsoir
    Tu as vu le danger de présenter ce lemme de cette façon devant un jury, Ils pourraient  poser la question de :  pourquoi k doit être impair.
    Je pense que le résultat est vrai en remplaçant 5 par un nombre impair. Plus précisément : 
    Pour tout $a\in\mathbb N$ impair et pour tout $k\in \mathbb N^*$ , on a $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. (faux  pour $k=0$ et $a=3$).
    On peut utiliser la récurrence sur $k$ de Rescassol :
    La propriété est vraie pour $k=1$.
     Supposons que $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. Alors, on peut écrire $a^{2^{k+1}}-1=\left(a^{2^k}-1\right)\left(a^{2^k}+1\right)$. Par hypothèse de récurrence, on a $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. Comme $a^{2^k}+1$ est pair, on a $2.2^{k+2}=2^{k+3}\mid (a^{2^{k+1}}-1)$.
    Le 😄 Farceur


  • C'est $\lambda$ qui doit être impair
  • Remarque pertinente merci noobey
    Le 😄 Farceur


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