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Oral ENS Ulm 2022

Modifié (May 2023) dans Analyse

Bonjour
J'ai passé le concours de l'ENS l'année dernière et lors de mon oral de mathématiques je n'ai pas su résoudre complètement l'exercice qui m'était proposé.
Je vous le propose donc ici accompagné de quelques-unes de mes idées en espérant que quelqu'un saura me débloquer et peut-être me présenter un cadre plus général dans lequel ce résultat apparait.
Voici l'énoncé : 

Soit $(Y_n)$ une suite de matrices réelles $2\times 2$ de déterminant $1$. On suppose que : 

(1) $\dfrac1n \log ||Y_n\cdots Y_1|| \rightarrow \gamma > 0$

(2) Il existe $C > 0$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad ||Y_n|| \leq C$

Montrer qu'il existe un vecteur $v \neq 0$ tel que : $\dfrac1n \log ||Y_n\cdots Y_1v|| \rightarrow -\gamma$

Indication : on pourra étudier les directions propres de $M_n^*M_n$ (avec $M_n = Y_n\cdots Y_1$)

Je vous propose quelques-unes des pistes que  j'ai pu explorer.
Mise en place :
D'abord, on remarque que le résultat ne dépend pas de la norme choisie (car toutes les normes sont équivalentes et que le $\log$ va tuer toutes les constantes). On peut alors choisir la norme d'opérateur associé à la norme $2$ en pensant à l'indication qui laisse apparaitre une matrice symétrique.
On peut aussi supposer que le résultat va être vrai dans $\mathbb{C}$, le choix de $\mathbb{R}$ semble fait pour se conformer au programme.

Cas simple :
Si la suite $Y_n$ est constante de valeur $Y$. On sait par le théorème de Gelfand que $\gamma$ est égale au $\log$ de la plus grande valeur propre de $Y$ (qui est donc réelle). On pose $v$ un vecteur propre unitaire associé à la seconde valeur propre de $Y$ (que l'on note $\mu$). On sait que le produit des valeurs propres vaut $1$ donc on a :  

$\dfrac1n \log ||Y_n\cdots Y_1v|| \rightarrow \log\mu = -\log\dfrac{1}{\mu} = -\gamma $

Ce cas particulier est donc traité.

Cas général :
Par le théorème spectral, la matrice $^tM_nM_n$ est diagonalisable dans une base orthonormée $(u_n,v_n)$. On note $\lambda_n, \mu_n$ les deux valeurs propres réelles associées en prenant $C \geq \lambda_n > 1 > \mu_n >0$  (On a des inégalités strictes à partir d'un certain rang car en cas d'égalité, on a une matrice identité, ce qui ne peut plus arriver à partir d'un certain rang car $\gamma >0$) . La matrice est de déterminant $1$ donc $\lambda_n \mu_n = 1$.
On obtient : $||M_nv_n||^2 = \mu_n^2$
Or, (1) montre que $\log |\lambda_n| = \gamma$. On en déduit que :

(*) $\dfrac1n \log ||Y_n\cdots Y_1v_n|| \rightarrow  -\gamma$

L'enjeu est donc de pouvoir extraire une limite des vecteurs $(v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Pour cela, on utilise la compacité de la boule unité de $\mathbb{R}^2$. Il existe $v \in \mathbb{R}^2$ et une extractrice $\varphi$ telle que $ v_{\varphi(n)} \rightarrow v$.

J'ai quelques difficultés à partir de ce point.
D'abord pour démontrer que $\dfrac{1}{\varphi(n)} \log ||M_{\varphi(n)}v|| \rightarrow  -\gamma$.
J'ai essayé d'écrire $M_nv = M_n (v-v_n)+M_nv_n$ et d'étudier la norme des deux membres pour montrer que l'un est écrasé par l'autre.
Le premier terme $M_nv_n$ est de l'ordre de $\mu_n$ qui est de l'ordre de $ \exp (-2\gamma n)$ par la propriété (1).
Le problème est que l'autre terme, s'il "contient" du $u_n$, va être de l'ordre $ \exp (+2\gamma n)$ et donc on a deux cas :
- si $v \dot u_n = 0$ alors, on doit avoir $v = \pm v_n$ car les deux sont unitaires.
- sinon on a l'explosion du second terme.
En bref, le fait que $v$ contienne du $u_n$ rend la convergence difficile à démontrer.

Mais passons et supposons que ce résultat soit acquis, pour passer de la convergence de la suite extraite à celle de la suite, j'imagine qu'il faut utiliser (2) pour contrôler l'effet des $Y_{\varphi(n+1)}\cdots Y_{\varphi(n)+1}$. Cependant, le terme $\varphi(n+1) - \varphi(n)$ va potentiellement devenir très grand et ne permettra pas ce contrôle.
Remarquons que dans le cas d'une suite $(Y_n)$ périodique, ce problème est réglé et on peut récupérer la convergence à partir de la suite $(Y_pn)$ ($p$ étant la période de la suite).

J'espère avoir été assez clair sur mes pistes. J'espère que quelqu'un sera intéressé par ce problème et pourra me débloquer.
Cordialement

Mots clés:

Réponses

  • JLTJLT
    Modifié (May 2023)
    Peut-être une idée : la matrice $Y_{n+1}=M_{n+1}M_n^{-1}$ envoie $M_n v_n$ sur $M_{n+1}v_n$ donc $||M_{n+1}v_n||\leqslant C ||M_n v_n||$ est très petit, de l'ordre de $e^{-n\gamma}$.
    Si on décompose $v_n=\lambda u_{n+1}+\mu v_{n+1}$, comme $M_{n+1}u_{n+1}$ est de l'ordre de $e^{n\gamma}$ et $M_{n+1}v_{n+1}$ est de l'ordre de $e^{-n\gamma}$, on en déduit que $\lambda$ est très petit, de l'ordre de $e^{-2n\gamma}$ au plus. Et donc, quitte à remplacer $v_{n+1}$ par son opposé, $v_{n+1}-v_n$ est très petit, de l'ordre de $e^{-2n\gamma}$, et donc $(v_n)$ converge vers un vecteur $v$ tel que $||v_n-v||$ soit de l'ordre de $e^{-2n\gamma}$.

    A vérifier car j'ai griffonné dans une marge un peu étroite.
  • Aux modérateurs ne serait-il pas judicieux de déplacer ce post dans la rubrique analyse ? Pour plus de visibilité.
  • Modifié (May 2023)
    En posant  $K_n=M_n^t M_n,$    $(u_n,v_n)$ une b.on directe de vecteurs propres  de $K_n$  dont les valeurs propres sont resp.  $\lambda _n^2$  et $\dfrac{1}{\lambda _n^2},$   on a  $||M_n||_2=||M_n u_n||_2=\lambda_n.$  On sait que $\lambda_n \sim  a^n$  où  j'ai posé $a=e^{\gamma}.$
    On pose $u_{n+1} = \alpha_n u_n + \beta_n v_n$  où $\alpha_n^2 +  \beta_n^2=1.$
    On suppose que $\alpha_n \geq 0.$  (On peut toujours s'y ramener).

    On estime $\beta_n: $ \begin{align*}
    \beta_n&=\,<u_{n+1} , v_n>\,=  \dfrac{1}{\lambda _{n+1}^2}< K_{n+1} u_{n+1}, v_n>\, =\dfrac{1}{\lambda _{n+1}^2}< M_n^t Y_{n+1}^t Y_{n+1} M_n  u_{n+1}, v_n> \\ \beta_n&=\dfrac{1}{\lambda _{n+1}^2}< Y_{n+1}  u_{n+1},M_n ^t M_n v_n>\,=\dfrac{1}{\lambda _{n+1}^2\lambda _{n}^2}< Y_{n+1} u_{n+1}, v_n>&\text{d'où} \\
    |\beta_n|&\leq \dfrac{1}{\lambda _{n+1}^2\lambda _{n}^2} \times C   = o(\dfrac{1}{a^{4n}}).
    \end{align*}Ou encore  $||u_{n+1} - u_n||= o(\dfrac{1}{a^{4n}})$ et  $||v_{n+1} - v_n||= o(\dfrac{1}{a^{4n}})$
    On en tire que le couple $(u_n,v_n)$  converge vers vers une b.o.n $(u,v)$  (directe).  Pour s'en convaincre, il suffit de voir que leurs cordonnées forment  une suite de Cauchy grâce à l'estimation.  
    Le candidat $v$ devrait répondre à la question.
    En, effet,
    $$\dfrac{1}{n} log ||M_n v||=\dfrac{1}{n} (log ||M_n v_n|| +log (1 +\dfrac{||M_n(v- v_n)||}{||M_n v_n)||}) $$
    $$\dfrac{1}{n} log ||M_n v|| =\dfrac{1}{n} (log \dfrac{1}{\lambda_n}  +log (1 +O( C^n ) o(1/a^{4n}) )= e^{-\gamma}+ o(1). $$



     
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