Point d'accumulation

sammsa

Bonjour, j'ai une préoccupation en algèbre.

a est un point d'accumulation de X si dans tout voisinage de a on peut trouver au moins un element de X different de a.

en quoi c'est équivalent à demander que tout voisinage de a contienne au moins une infinité dénombrable de points de X svp ?

Math Coss

On suppose que tout voîsinage de $a$ contient au moins un point autre que $a$. On se donne alors un voisinage $V$ de $a$ et on montre qu'il contient une infinité de points. On en choisit d'abord un, disons $x_0$. Dans la boule de centre $a$ et de rayon $d(a,x_0)/2$, on en choisit un autre, disons $x_1$ ; et ainsi de suite. 
La réciproque est évidente, n'est-ce pas ? 

Au fait ce n'est pas de l'algèbre et ça n'a rien à voir avec le challenge data...

[Je viens de déplacer la discussion dans la rubrique "topologie". --JLT]

Thierry Poma

@Math Coss : bonjour. C'est étrange, car l'auteur ne parle pas d'espaces métriques ou (...) En revanche, l'équivalence n'est pas acquise si l'espace topologique $X$ n'est pas séparé a minima. Dans le cas où il l'est, une implication est triviale, l'autre peut se rédiger via la reductio ad absurdum.

Math Coss

Formellement, tu as raison. Cependant, vu le style, l'approximation sur le sujet et la difficulté de la question, je doute qu'on soit ailleurs que dans $\R^n$. Surtout que l'intérêt de ces considérations (introduire des suites de points) tombe nettement dans un contexte non métrique. 

jm14d

Bonjour, oui à mon sens si l'espace est séparé comme le souligne Thierry, on peut garder la même forme de raisonnement sauf que, une fois acquis x0, on utilise le fait que x0 étant différent de a, il existe un voisinage de a qui ne contient pas x0 : c'est dans ce voisinage qu'on va trouver x1, etc...

Math Coss

À mon sens aussi. Cela va sans dire et pour une fois, il ne m'a pas semblé que cela allait mieux en le disant...

Nathnath_N

Mon prof de spé nous a introduit les points d'accumulation comme suit : a est un point d'accumulation de X si a est dans l'adhérence de X\{a}.

Ainsi, d'après la caractérisation de l'adhérence et des ouverts (un voisinage de a est un ouvert contenant a), il existe dans tout voisinage V de a une infinité d'éléments de X.

Étant donné que IN est l'ensemble infini le plus "petit" et qu'un ensemble est dénombrable ssi il a le même cardinal que IN, comme il existe une infinité d'éléments de X dans V, il en existe a fortiori une infinité dénombrable.

Soc

Définition étrange. Si un voisinage est un ouvert, alors pourquoi introduire cette définition? Un voisinage doit normalement contenir un ouvert contenant a, sans être nécessairement lui-même ouvert.

Sinon mes souvenirs sont lointains, mais il me semble tout de même que l'on peut définir des topologies sur toutes sortes d'ensembles y compris des ensembles finis, d'où mon étonnement également face aux dénombrables présents ici.

J'avais vu en prépa la topologie comme le moyen de mieux comprendre les notions qui nécessitaient une distance et celles qui étaient plutôt qualitatives, comme la compacité. Du coup la topologie hors d'un espace métrique parait plus indiquée, et pour le coup pas plus difficile puisqu'elle met en oeuvre moins de notions.

Nathnath_N

Effectivement, un voisinage contient un ouvert contenant a, je ne sais pas pourquoi nous n'avons pas cette définition dans notre cours ^^'

Vous avez probablement raison à propos des topologies définies sur des ensembles finis, mais dans ce cas, que sont les ouverts ? Ça m'intéresse, n'ayant travaillé que sur des topologies classiques.

canasson29

Dans mes lointains souvenirs, les seules topologies possibles sur un ensemble fini sont la topologie grossière (seul l'ensemble vide et l'ensemble total sont des ouverts) et la topologie discrète (toutes les parties sont des ouverts) Mais c'est tellement lointain que je dois dire des bêtises ...

Poirot

Ben non, par exemple $\{\emptyset, \{a\}, E\}$ est une topologie sur l'ensemble fini $E = \{a, b\}$ qui n'est ni grossière ni discrète.

canasson29

Je savais que je disais des bêtises Quelqu'un aurait-il des résultats sur les différentes structures topologiques possibles d'un ensemble fini ? À homéomorphisme près ?

Soc

Sur un ensemble fini la seule topologie séparée est l'ensemble des parties (exercice simple).
En revanche il y a plein de topologies non séparées. Par exemple tu prends l'ensemble des parties sur un ensemble à n éléments, et tu rajoutes un élément qui est dans tous les mêmes ouverts qu'un élément donné. Avec cet exemple simple tu entrevois mieux le principe de topologie non séparée, c'est à dire qui ne parvient pas à distinguer certains éléments.