À propos des fonctions rationnelles bivariées

Bonjour à tous,

Dans un travail actuel, je cherche des conditions (suffisantes, éventuellement nécessaires) pour que le quotient de deux fonctions polynomiales (à coefficients réels) en deux variables \(x\) et \(y\) s'écrive en réalité comme le quotient d'une fonction polynomiale en \(x\) par une fonction polynomiale en \(y\). 

La question est relativement générale, et le contexte pourrait tout aussi bien être "algébrique". 

Si vous êtes déjà tombé sur ce type de décomposition, ou qu'un mot clef vous vient à l'esprit, je suis preneur !

Merci d'avance à tous,
K.

Réponses

  • Embryon d'idée, je ne sais pas trop ce qu'on peut en faire.
    Si $f(x,y) = \frac{P(x)}{Q(y)}$ alors (condition nécessaire) $$ \partial_x f \cdot \partial_y f = f \cdot (\partial_x \partial_y f)$$
    En effet, $\frac{ \partial_y f}{f} = -\frac{Q'(y)}{Q(y)}$ est indépendant de $x$, donc $\partial_x( \frac{ \partial_y f}{f} ) = 0$, ce qui donne l'identité ci-dessus.
    Après je bloque.
  • Merci @i.zitoussi pour votre réponse, c'est sûrement un bon point de départ ! 
  • Après l'idée de i.zitoussi, il restera à voir comment distinguer $f(x)/g(y)$ de $f(y)/g(x)$, ce qui ne doit pas être le plus dur. A part cela, passer par un $\ln$ doit être envisageable aussi.
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