Le gâteau d'anniversaire de gebrane

L'anniversaire tombe le 5 ; ayez donc tous la gentillesse de ne pas souffler les bougies avant lui :)

Exercice 1 : on donne un entier $n\geqslant3$ et une matrice $M$ de la forme $\begin{pmatrix}a&L\\C&b\,{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}$ ; ici, $a$ et $b$ sont des scalaires, mais on ne les suppose pas distincts, $L$ est une matrice de format $(1,n-1)$ et $C$ de format $(n-1,1)$.
Montrer que, à part dans le cas où $a=b$, $L=0$, $C=0$, il existe une matrice $M'$ semblable à  $M$ et de la forme $\begin{pmatrix}a&L'\\C'&B\end{pmatrix}$, où $B$ n'est plus une matrice scalaire. Attention : il ne faut pas modifier le terme en position $(1,1)$  >:)
C'est un exercice de dédiagonalisation, si l'on veut.

Exercice 2 : on donne un entier $n\geqslant2$ et un endomorphisme $u\not\in{\rm Vect}({\rm Id}_E)$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ ; on donne en outre  des scalaires $(\lambda_1,\,\dots,\,\lambda_n)$ dont la somme est la trace de $u$. Montrer qu'il existe une base de $E$ relativement à laquelle les termes diagonaux de la matrice de $u$ sont les $\lambda_\ell$ (dans cet ordre, mais ce n'est pas le plus difficile à faire).

Réponses

  • Je précise : la caractéristique du corps de base est nulle ; je pense que cela n'a pas d'importance pour l'exercice 1 mais, sinon, le 2 deviendrait pénible et peut-être même faux.
    • Merci John pour le cadeau 
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Positif
    Modifié (May 2023)
    50 ans ça se fête  :p 

    @gebrane

    Je note $\mathcal{C} = \mathcal{S}_n^{++} (\mathbf{R})$ l'ensemble (le cone en fait) des matrices strictement définies positives et symétriques. Montrer que $\varphi : S \in \mathcal{C} \mapsto -\log \det S$ est convexe.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Ceux qui trouvent, peuvent mettre j'ai trouvé soit pour le 1 ou le 2
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  • Trouvé pour 1 et 2.
    Merci pour les exos !
  • john_john
    Modifié (May 2023)
    Finalement, je pense que la caractéristique est sans importance ; ce n'est pas comme si l'on avait à comparer un rang et une somme d'unités du corps.
  • Effectivement, pas besoin d'hypothèse de caractéristique.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    . Je te félicite, Jlapin.

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  • MrJ
    MrJ
    Modifié (May 2023)
    Je sais faire le second (c'est un classique des oraux X-ENS).
    Pour le premier, je pense savoir le faire (de tête), mais je n'ai pas pris le temps d'écrire les détails (trop de copies à corriger :'( ).
    Bon courage gebrane !
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    John j'aimerais savoir si j'ai bien compris ta question.  Pour cela  J'ai considéré le cas $n=3$, donc
    $M = \begin{pmatrix}
    a & L_1 & L_2 \\
    C_1 & b & 0 \\
    C_2 & 0 & b
    \end{pmatrix}$ Avec la transformation élémentaire $L_2$ recoit $L_2-L_1$ j'obtiens $M' = \begin{pmatrix}
    a & L_1 & L_2 \\
    C_1-a & b-L_1 & -L_2 \\
    C_2 & 0 & b
    \end{pmatrix}$.
    La matrice $B = \begin{pmatrix}
    b-L_1 & -L_2 \\
     0 & b  \\
    \end{pmatrix}$  est non scalaire ssi $L_1$ ou $L_2$ est non nul.
    Maintenant si $L_1=L_2=0$, je fais la transformation élémentaire $C_2$ reçoit $C_2-C_1$ et [la] matrice $B$ obtenue est non  scalaire ssi $C_1$ ou $C_2$ est non nul.
    Si cette fois ci $L_1=L_2=C_1=C_2=0$, je fais la transformations $C_3$ reçoit $C_3+C_2$ et la matrice obtenue est non scalaire ssi $b$ est non nul
    Il reste le cas ou $b=L_1=L_2=C_1=C_2=0$ et $a$ non nul. Dans ce cas je fais les transformations $C_2$ reçoit $C_2+C_1$ puis $L_2$ reçoit $L_2+L_1$ et la matrice $B$ obtenue est non scalaire car $a$ est non nul.
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  • Tu es censé chercher une matrice semblable, pas équivalente. Le cas $n=3$ est déjà intéressant.
  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    On est bien d'accord qu'une matrice scalaire d'ordre $n-1$ est bien une matrice diagonale de la forme $\lambda I_{n-1}$ ? Si oui, je pense avoir trouvé l'exo $1$ ! ^^'
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • john_john
    Modifié (May 2023)
    gebrane : comme l'a souligné JLapin, ces opérations élémentaires ne conservent pas la classe de similitude ; si on effectue par exemple $C_i\leftarrow C_i+aC_j$, il faut lui associer $L_j\leftarrow L_j-aL_i$. Le cas $n=3$ résume effectivement toute la situation.

    Coquille corrigée
  • NicoLeProf : oui !
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    J'ai mélangé les deux définitions.
    Mais la question est aussi intéressante avec les matrices équivalentes. As-tu une réponse dans ce cas @john_john pour $n>3$ ?
    edit mauvaise question car deux matrices semblables sont équivalentes.
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  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    J'ai oublié de répondre à @Positif. J'ai une réponse à ta question puisqu'il y a de l'analyse.
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  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    L’algèbre n'est pas mon fort; faut-il chercher dans quelle direction ? Une matrice $P$ tel que $P^{-1} MP=M'$ où un truc plus profond ? Répondez par oui ou non.
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  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    Tu avais la bonne intuition avec les opérations élémentaires. Simplement, chaque transvection sur les lignes devra être accompagnée d'une transvection adaptée sur les colonnes pour que la matrice finalement obtenue soit semblable à la première matrice.
    Tu peux essayer avec des exemples entièrement numériques de matrices $3\times 3$. C'est assez éclairant.
  • john_john
    Modifié (May 2023)
    Oui :)
    $P^{-1}MP$ avec une matrice $P$ triangulaire par bloc, le bloc en haut à gauche étant tout petit tout petit.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Merci pour vous réponses, un cadeau aussi pour mon papa.
    Soit $M$ une matrice complexe carrée ( edit  d'ordre $n\geq 3$)  non scalaire. Montrer $M$ est semblable à une matrice $M'$ où la première colonne de $M'$ est exactement \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.
    [En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]
    Merci AD, bien compris
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  • john_john
    Modifié (May 2023)
    Même pour $n=1$ ? :). (Oh, les mouches, serrez les fesses !)

    Si tu proposes cet exercice, c'est que tu es sur la voie pour le second exo (d'avant-hier) aussi !
  • J'ai précisé  le manque , donc $n \geq 3$
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  • Cela marche aussi pour $n=2$ ; donc, pour $n\geqslant2$, on choisit un $X_0$ tel que $(X_0,MX_0)$ forme une famille libre (ce qui est possible car $M$ est non scalaire) et l'on complète cette famille en une base. Relativement à une telle base, la matrice de $X\mapsto MX$ est de la forme attendue.
  • C'est aussi la preuve pensée  ( elle est zolie) , j'ai indiqué que n>2 pour avoir une forme 0,1,0 au moins en première colonne
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    @gebrane. Tu peux même demander à $M$ d'être semblable à une matrice $M''$ dont la première colonne est $\begin{pmatrix} a\\1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix}$ où $a$ est un scalaire fixé au préalable. Vois-tu comment ?
  • etanche
    Modifié (May 2023)
    @ gebrane happy birthday, voici deux cadeaux
    Montrer que $\int_{2-\sqrt{3}}^{1} e^{-x^2} dx < \frac{\pi}{6}$ sans logiciel ou calculatrice. 
  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    @gebrane : bon anniversaire à toi !!! Voici aussi un cadeau (en arithmétique cette fois car tu m'as beaucoup fait cherché sur des posts récents lol et je n'ai toujours pas de solutions à proposer ^^').
    Déterminer le plus petit multiple (non nul bien sûr !) de $2012$ qui s'écrive, en écriture décimale, en n'utilisant qu'un seul chiffre !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @gebrane Bon anniversaire.
    Voici mon cadeau. 
    kg.jpg 40.2K
     
  • john_john
    Modifié (May 2023)
    Bon anniversaire, gebrane !
    Selon un sondage de l'OPIF, moins d'un Français sur mille considère les exos de maths comme des cadeaux d'anniversaire. Comme nous sommes entre sado-masochistes, je propose comme cadeau du jour : déterminer les endomorphismes $u$ (d'un espace de dimension finie) qui soient les sommes de $r={\rm rg}(u)$ endomorphismes de rang $1$ et qui commutent (sinon, c'est pas drôle, chef !)
    On ne trouve pas seulement les endomorphismes diagonalisables ! Il n'est pas utile de sortir le bazooka (réduction simultanée).
  • Voici une rédaction abrégée de la solution de la question 1 (On donne un entier $n\geqslant3$, etc.)

    Avec $M=\begin{pmatrix}a&L\\C&\lambda{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}$,  si, par exemple, $L\neq0$, nous cherchons $P$ sous la forme $P=\begin{pmatrix}1&0\\X&{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}$  afin  que $M'=P^{-1}MP$ soit de la forme attendue.

    Or, $M'=\begin{pmatrix}a+LX&L\\...&\lambda{\rm I}_{n-1}-XL\end{pmatrix}$ ; on construit facilement, mais soigneusement, une colonne $X$ telle que $LX$ soit le scalaire nul, mais que $XL$ ne soit pas une matrice scalaire. Un peu de soin est effectivement nécessaire puisque la construction de $X$ diffère, me semble-t-il, selon que $L$ admet ou non au moins deux composantes non nulles.


    Le cas où $C\neq0$ est analogue, avec $P$ de la forme $\begin{pmatrix}1&\,^tX\\0&{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}$ ; on peut remarquer aussi que $^tM$ satisfait l'hypothèse précédente.


    Si, enfin, $L=0$ et $C=0$ et donc $b\neq a$, on peut se ramener au premier cas grâce à deux opérations élémentaires préalables :


    $C_2\longleftarrow C_2-C_1$  $L_1\longleftarrow L_1+L_2$ : le terme en position $(1,1)$ est inchangé et le terme $(1,2)$ devient $b-a$.

  • john_john
    Modifié (May 2023)
    Et le 2 (matrice, avec diagonale  imposée,compatible avec la trace) ; les divers intervenants ont parsemé cet exos d'indications...

    Si $n\geqslant3$, avec l'indication de Jlapin, on peut commencer par construire une base relativement à laquelle la matrice de $u$ ait  pour première colonne $C_1=\begin{pmatrix}\lambda_1\\1\\0\\\vdots\end{pmatrix}$ ; elle est donc de la forme de l'exercice 1 et l'on peut modifier la base sans modifier le terme $(1,1)$, de sorte que la matrice mineure de ce terme soit non scalaire. Nous nous ramenons donc au même problème, avec des matrices de taille $(n-1,n-1)$, etc. Remplacer une base $(e_1,e_2, e_3, ...)$ par une base $(e_1,e'_2,e'_3,...)$ ne modifie pas le terme $(1,1)$ parce que, dans cette construction, $(e_2,..)$ et $(e'_2,...)$ engendrent le même sev.

    Il reste à vérifier que le problème est possible lorsque $n=2$, ce qui est immédiat puisque, une fois que le terme en position $(1,1)$ est égal à $\lambda_1$, l'autre terme diagonal ne peut être que $\lambda_2$.

  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Merci pour vos gentils mots, la fête est bien passé .
    Pour la question de bd, je trouve v=15km/h qui correspond à d=300 km et T=20h.
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  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Bonjour john. Je m 'interesse à la réciproque de ton exercice 1. C'est plus interessant On part de M' pour atterrir sur M. Est-ce que cela est possible ? ou sous conditions
    J
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  • Bonjour, gebrane,
    il faudrait préciser de quelles matrices $M'$ tu aimerais partir ! En effet, les matrices $B$ que nous avons construites sont de la forme $b\,{\rm Id}_{n-1}+XL$ par exemple, de sorte que $B-b{\rm Id}$ est de rang au plus $1$ ; ainsi, $B$ doit avoir une valeur propre de multiplicité au moins $n-2$, ce qui n'est pas donné à tout le monde.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Par exemple pour n=3 , soit $M'=\begin{pmatrix}a &C\\ L&B\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb R)$ avec  $B\in M_2(\mathbb R)$. On suppose que polynôme caractéristique de $B$ est scindé sur $\mathbb R)$ (donc admettant au moins une valeur réelle de multiplicité au moins une). On cherche à montrer que $M'$ est semblable à $M=\begin{pmatrix}a&C'\\L'&\lambda{\rm I}_2\end{pmatrix}$. Je vais réflechir pour cet exemple  ( edit coquille c'est M' au lieu de M  ) $M'=\left(\begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{matrix}\right)$



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  • Essaie alors plutôt la même matrice, avec comme coefficients diagonaux $4,2,2$ (les autres termes sans changement) afin que $B$ ait des valeurs propres pas trop compliquées :)
  • En revanche, avec ton exemple, la conservation de la trace va obliger $\lambda$ à être égal à $4$, ce qui limite le champ des recherches.
  • À propos, dans ton exemple, ce que tu appelles $M$ tout à la fin doit s'appeler $M'$, non ?
  • Si la toute dernière matrice s'appelle effectivement $M'$, cela ne marchera pas puisque, sachant que $a$ est inchangé et que $\lambda=4$, les matrices $M$ et $M'$ ne pourront être semblables puisque $4$ est valeur propre de $M$ mais non pas de $M'$.
  • Donc comment formuler une condition suffisante sur B pour que ca marche  ?
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