Diagonalisabilité

SandwichFromage

Bonjour
Un exercice de la BEOS indique que si $A\in \mathcal M_n(\mathbb R) $ et si $A^3 = A {\,}^{t\!}\! A $, alors $A$ est diagonalisable dans $\mathbb C$.
J'ai trouvé une manière d'aboutir à ce fait, mais je suis curieux de savoir si vous avez d'autres idées ou visions à proposer.
J'ai l'impression qu'il doit y avoir d'autres manières de faire car mon truc est un peu... Je ne dirais pas "sorti du chapeau" mais ça s'appuie sur des lemmes / d'autres exercices.

Des idées ? :-)

Autre question, tant qu'on y est : l'exercice juste en dessous sur la même page demande d'exprimer $\alpha = P(A\cap B ) - P(A)P(B )$ en fonction de $x=P(A\cap B )$,$\ y=P(\overline A\cap B )$,$\ z=P(A\cap \overline B )$ et $t= P(\overline A\cap \overline B )$. J'ai $\alpha = x - (x+z)(x+y)$, mais il est indiqué que l'examinateur aurait dit lors de l'oral "Il faut simplifier au maximum l'expression qui doit être polynomiale de degré 1 en toutes les variables.". 

Mes connaissances en arithmétiques des polynômes formels à plus qu'une indéterminée ne sont pas extensives, mais il me semble que ça demanderait qu'il n'y ait que des monômes, et il me semble que les monômes sont usuellement plutôt des trucs du genre $\lambda x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$, où le degré est ici $\sum \alpha_i$. À ce moment là je ne comprends pas bien ce que l'examinateur a voulu dire, car je ne pense pas pouvoir réduire $ x + (x+z)(x+y) $ à un polynôme de degré 1 en les 4 variables $x,y,z,t$, même en cherchant à lier ces quantités entre elles. Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre ce que signifie la phrase entre guillemets ? 

Paul Broussous

La matrice  $A{\,}^{t\!}\!A$ est diagonalisable  car symétrique réelle. Soit $P$ un polynôme annulateur de $A{\,}^{t\!}\!A$ scindé à racines simples. Si $X$ ne divise pas $P$, alors $P(X^3 )$, scindé à racines simples sur $\C$, annule $A$. Donc $A$ est diagonalisable sur $\C$.  Si $X$ divise $P$,  écrivons $P=XQ$. Alors $XQ(X^3 )$, scindé à racines simples sur $\C$,  annule $A$. Cela découle du fait que ${\ker}(A^3 )={\ker}(A{\,}^{t\!}\!A)={\ker} (A)$, la dernière égalité étant un exercice classique. On conclut de la même manière.

SandwichFromage

Ok, merci (c'est exactement comme ça que j'ai fait)

NicoLeProf

Pour les probas, c'est $\alpha = x- (x+y)(x+z)$ non?

J'ai tout développé, j'ai factorisé $x-x^2$ en $x(1-x)$ et j'ai exprimé $1-x=P(\overline{A \cap B})$ en fonction de $y$, $z$ et $t$ mais je trouve quelque chose de très bizarre donc je me suis sans doute trompé ensuite...

Paul Broussous

Il faut utiliser que $x+y+z+t=1$. On a $\alpha$ $=$ $x-(x+z)(x+y)$ $=$ $-x^2 +[1-(z+y)]x -yz$ $=$

$-x^2 +(x+t)x-yz$ $=$ $ xt-yz$. Il faut donc maximiser $xt-yz$ sous la contrainte $x,y,z,t\geqslant 0$ et $x+y+z+t=1$.

NicoLeProf

Je suis très content, j'ai bien trouvé $\alpha=xt-yz$ , cela me paraissait bizarre mais en fait c'est bon !