Théorème de point fixe de Schauder

Snobi

Bonsoir,

Je suis en train de rédiger un petit exposé sur le théorème de point fixe de Schauder mais je bloque dans quelques détails de la démonstration.
Référence:
Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,  David Gilbarg and Neil S. Trudinger.

• Continuité de $J_k$ (somme d'applications continues, chaque application étant le produit de deux fonctions continues, l'une constante et l'autre la distance...) - comment formuler cela ?
  
• Dernière partie dans l'étape 2
  
• Compact dans l'étape 3

Merci.

Poirot

Tu as tout dit pour la continuité de $J_k$, à part qu'il ne s'agit pas de constantes mais de projections, qui sont bien continues car d'espace de départ de dimension finie.

Pour la fin de l'étape 2, c'est très mal expliqué. Il suffit de dire que $\max_{1 \leq i \leq N_k} ||x-x_i|| \leq \frac{1}{k}$ et donc que $$\frac{\sum_{i=1}^{N_k} d(x, A_i) ||x-x_i||}{\sum_{i=1}^{N_k} d(x, A_i)} \leq \frac{\sum_{i=1}^{N_k} d(x, A_i) \frac{1}{k}}{\sum_{i=1}^{N_k} d(x, A_i)} = \frac{1}{k}.$$

Le fait que $C_k$ est compact c'est simplement parce que $V_k$ est de dimension finie, et donc $C_k$ est un fermé borné d'un tel espace.