Intégrale généralisée

Besma bissan

Salut

Je dois calculer l'intégrale suivante $$ I=\int_a^b \frac{1}{(b-x)^\alpha(x-a)^{(2-\alpha)} }dx ,$$ tel que $\alpha \in [0;1[$ est une constante.

J'ai essayé de simplifier l'expression et d'appliquer l'intégration par parties, mais en vain
\begin{align*}
  I&=\int_a^b \Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\frac{1}{(x-a)^2}dx \\
 I&=\frac{1}{b-a}\int_a^b \frac{b-a}{(b-x)^2}\Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\Big( \frac{b-x}{x-a}\Big)^2dx .
\end{align*}

etanche

En $a$ l’intégrale diverge. 

Besma bissan

@etanche
Pourquoi l'intégrale diverge en $a$?

L'intégrale est généralisée parce que la fonction à intégré n'est pas définie en $ a$ et $b$.

etanche

Par exemple $\alpha =0$ l’intégrale est $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^2} dx$ qui est divergente.

jean lismonde

Bonsoir 

Ton intégrale numérique fait intervenir les fonctions eulériennes Beta et Gamma,
je n'ai pas trouvé la forme explicitée avec les paramètres a, b réels, et $0 < \alpha < 1$.

Je signale une intégrale numérique simple dans le même style que la tienne : $$\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = \pi$$

le résultat, calculé en passant par la recherche de la primitive (à une constante additive près)
ne dépend pas des bornes d'intégration a et b

Cordialement

Math Coss

Je poserais volontiers $u=\frac{b-x}{x-a}$ pour voir, parce que $\mathrm{d}u=\frac{C}{(x-a)^2}\mathrm{d}x$ pour $C$ facile à calculer.

jandri

Comme l'a remarqué @etanche l'intégrale diverge à cause de la borne $a$.

La bonne intégrale est sans doute $I=\displaystyle\int_a^b \frac{1}{(b-x)^\alpha(x-a)^{1-\alpha} }dx$ qui vaut $\dfrac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}$ pour $0<\alpha<1$.