Des matrices, pour vos colles en Math sup

On donne deux entiers $n$ et $r$, tels que $1\leqslant r\leqslant n-1$ ; si $M\in{\mathfrak{M}}_n(K)$, on désigne par $M_{(r)}$ la matrice obtenue à partir de $M$ lorsque l'on remplace les $r$ dernières colonnes par autant de colonnes nulles. Quel est l'ensemble décrit par les matrices de la forme $M_{(r)}\cdot M^{-1}$, lorsque $M$ décrit ${\rm GL}_n(K)$ ? Même question si l'on se restreint à $M\in{\rm SL}_n(K)$.

Réponses

  • Pour la première question, je trouve l'ensemble des projecteurs de rang $r$.
  • Je trouve le même ensemble pour la deuxième question.
  • Je confirme les deux marchi :)
  • $M_{(r)}=MJ_{n-r}$.

    Si $A=M_{(r)}M^{-1}$ alors $A^2=A$ (calcul immédiat) avec $\text{rang}(A)=n-r$.

    Réciproquement, si $A^2=A$ avec $\text{rang}(A)=n-r$ alors $A=PJ_{n-r}P^{-1}$ et on peut choisir $P$ tel que $\det(P)=1$.

    On a alors $A=P_{(r)}P^{-1}$.
  • Exact, Jandri ! En te lisant, je me rends compte que j'ai confirmé marco en n'ayant pas fait attention au fait que $r$ est la dimension du noyau, et non pas de l'image ; cela a dû être un simple lapsus de sa part !
  • Merci pour ce joli problème (j'aime bien les problèmes dont la résolution ne prend que quelques lignes, quand on l'a trouvée !).

    J'aurais défini la matrice $M_{(r)}$ par "la matrice obtenue à partir de $M$ en gardant les $r$ premières colonnes et annulant les $n-r$ dernières" (c'est ce qu'a sans doute compris marco).
  • De rien, jandri ! Cela étant, tu as raison de proposer ce changement de point de vue puisqu'il est trompeur (voire déloyal) d'appeler $r$  une grandeur qui n'est pas appelée à être le rang de la matrice obtenue. Ce n'était pas délibéré de ma part ; au contraire, il me semblait naturel d'annuler certaines colonnes plutôt que d'en conserver d'autres (c'est le principe des opérations élémentaires).
  • marco
    Modifié (April 2023)
    @jandri , @john_john : oui, j'ai confondu le nombre de colonnes que l'on annule et le nombre de colonnes que l'on garde.
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