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Valeurs atteintes par les écarts entre les nombres premiers

LaoLao
Modifié (April 2023) dans Arithmétique
Bonjour à tous
J'ai une question simple, à laquelle je n'ai pourtant pas encore trouvé de réponse : sait-on aujourd'hui si tout écart / "gap" pair, 2n = p' - p, est atteint -au moins une fois- entre deux nombres premiers consécutifs p et p' ? (n € IN*)
Si oui, auriez-vous la référence/source de la preuve originelle ?
D'avance merci.
Edit : sur le site de Gérard Villemin, dans la section "Bilan", en milieu de page environ, j'ai trouvé des éléments à ce sujet ("E quelconque", qui tendraient à dire que oui), mais ce n'est pas encore très clair je trouve. Je lui ai donc posé la même question, mais je n'ai pas encore eu son retour.
Edit 2 : je me doute que la réponse est que toutes les valeurs paires sont bien effectivement atteintes, mais j'ai besoin d'être sûr, vous l'aurez compris. Je sais aussi bien sûr déjà que cet écart peut être "aussi grand que l'on veut".
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Réponses

  • Je précise également que j'ai bien lu le fil de discussion -ancien- sur les écarts mais que je n'ai rien trouvé qui réponde à ma question.
  • Je pense que c'est un problème complètement ouvert. Cette entrée de l'OEIS le suggère également, malgré l'affirmation fumeuse faite en commentaire. Je pense que ce que Gérard Villemin veut dire avec son "$E$ quelconque", c'est que $E$ peut être arbitrairement grand.
  • Conjecture de Polignac : Cette conjecture est plus ambitieuse, il y aurait une infinité de couples $(p_n, p_{n+1})$ pour chaque nombre pair.
    Mais même sans parler d'infinité de solutions, il me semble aussi que c'est un problème ouvert.
    Et pour moi, dans ce cas particulier, problème ouvert, ça veut dire : on pense (tous) que la conjecture est vraie, mais on ne sait pas la démontrer.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • LaoLao
    Modifié (April 2023)
    @Poirot : ok, merci pour cette réponse et cette référence.
    @lourran : oui, la conjecture de Polignac en est une généralisation, Mais pour la prouver, il est utile justement d'avoir pour acquis que chaque écart est atteint au moins une fois.
    Je vais continuer mes recherches.
  • On sait en revanche à la suite des travaux de Zhang et consorts que les nombres de Polignac (nombres pairs égaux à un écart entre premiers consécutifs d'une infinité de façons différentes) forment une proportion strictement positive des entiers.
  • LaoLao
    Modifié (May 2023)
    @Sylvain. Ok merci. Qu'entends-tu exactement par "proportion strictement positive des entiers" ?
  • La limite inférieure du quotient du [nombre d'entiers jusqu'à $n$ qui marchent] par $n$ est strictement positive. Ou quelque chose du genre. 
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