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Matrice - factorisation LU et LDL^T

Modifié (April 2023) dans Informatique théorique
Je ne savais pas à quel forum m'adresser. J'ai une difficulté à comprendre certains éléments sur les méthodes de factorisation des matrices dans le cadre de résolution directe de système linéaires.
J'ai compris les théorèmes (et leurs preuves) en lien avec la factorisation LU. Juste dans les algorithmes avec pivot partiel on remplit L. Mais j'ai du mal à comprendre la manière dont on le fait et pourquoi c'est correct.
Faire une factorisation avec pivot partiel d'une matrice A inversible c'est trouver les mêmes L et U qu'une factorisation sans échange de la matrice PA avec P produit des matrices de permutations.
Et quand on fait la factorisation sans échange il y a une manière "générique" de calculer L qui est l'inverse de la matrice M produit des matrices d'élimination de Gauss et dont on peut calculer les coefficients à "l'avance" qui ne sont rien d'autre que des divisions de coefficients de la suite de matrice (A(k)) construite lors du procédé d'élimination. Donc l'algorithme sans échange est limpide.
 Mais avec échange même en me ramenant à cette interprétation je suis perdu. Est-ce que quelqu'un qui a travaillé sur le sujet pourrait me donnait une explication ou une piste de compréhension de pourquoi remplir L comme ça c'est correcte et pourquoi :

On "marque" l'idée que c'est un algorithme avec échange en échangeant les lignes de L mais on ne le fait pas pour toutes les colonnes. J'ai essayé de le faire pour toutes les colonnes et en effet c'est essentiel de faire comme cela mais je ne comprends pas du tout pourquoi ? Le problème est que la matrice L est égale théoriquement à P fois l'inverse de la matrice M qui est la matrice d'élimination de Gauss avec échange et qu'on ne calcule jamais cette matrice (trop long) mais qu'on trouve une astuce pour trouver le résultat de ce produit matriciel de manière itérative en remplissant pas à pas mais là je bloque sur l'idée. Sauf que l'algorithme ne parait pas plus compliqué que la factorisation sans échange.
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Réponses

  • Echanger deux lignes de A lorsqu'on est à la colonne k revient à le faire dès le début sur A, et cela nécessite donc d'échanger les morceaux de lignes correspondantes de L calculés à ce moment-là, donc jusqu'à la colonne k-1 (et évidemment on ne va pas échanger les colonnes au-delà, ça casserait la structure triangulaire de L).
    En fait c'est plus simple si on modifie en place A en y stockant L et U ensemble (L sous la diagonale au sens strict et U au-dessus au sens large), on échange alors les 2 lignes en entier.
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