Équicontinuité et extraction diagonale

LoloDJ

Est-ce que quelqu'un sait démontrer ce truc-là ?

Alain24

J'ai vu autrefois la démonstration appelée extraction diagonale pour un espace de fonctions réelles cela doit pouvoir se généraliser à des fonctions sur des Banach mais si on prend n'importe quel espace topologique comme ensemble de départ des fonctions je ne suis pas du tout sûr de la validité du procédé d'extraction diagonale.

LoloDJ

en fait, j'ai mis "extraction diagonale" dans le titre, mais je ne suis pas sûr que ce soit vraiment cela.
A bien y regarder, la chose à démontrer n'a pas l'air si méchante, je n'ai pas essayé, j'avoue. 

Renart

je n'ai pas essayé, j'avoue. 

Il faudrait peut-être commencer par là, tu ne penses pas ?

Deux remarques tout de même
1) Ce n'est pas parce que l'exercice fait intervenir la "diagonale" de $X\times X$ qu'il s'agit d'un procédé d'extraction diagonale. D'ailleurs, sur un espace topologique quelconque $X$ il n'y a pas vraiment de raison qu'une extraction diagonale serve à quelque chose puisque la topologie n'est pas déterminée par les suites et que $X$ n'a aucune raison d'être séparable. 
2) La topologie générale n'est pas au programme de l'agrégation externe, si réellement c'est pour l'agrégation externe que tu poses ces questions tu peux te contenter de travailler dans des espaces métriques.

LoloDJ

Bon, ben en fait je n'arrive pas à le démontrer : 

Soit A une famille de fonctions de X dans Y. On veut montrer que A est équicontinue si et seulement si ∀ ε>0, ∃ Ω un ouvert contenant Δ ={(x,x); x∈ X} tel que ∀ (x,x') ∈ Ω, ∀ f ∈ A, d(f(x),f(x'))<ε.

Supposons que A soit équicontinue sur X, alors ∀ x0 ∈ X, ∀ ε>0,  ∃ V un voisinage de x0 tel que ∀ x ∈ V, ∀ f ∈ A, d(f(x),f(x0))<ε

Soit donc ε>0, et notons ∀ x0 ∈ X, Vx0 le voisinage de x0 témoignant de l'équicontinuité de A en x0. Posons Ω = ∪(pour x0 et x0' parcourant X) Vx0 x Vx0'.

Ω est bien un ouvert de XxX comme réunion de produits d'ouverts et contient bien Δ.

Soit (x,x') ∈ Ω, (x,x') est contenu dans l'ouvert élémentaire Vx x Vx' et ∀ y ∈ Vx, d(f(x),f(y))<ε et ∀ z ∈ Vx', d(f(x'),f(z))<ε

Par inégalité triangulaire, on peut majorer d(f(x),f(x'))< d(f(x),f(y)) + d(f(y),f(z)) + d(f(z),f(x')) où y ∈ Vx et z ∈ Vx'.

Comment peut-on majorer d(f(y),f(z)) ? C'est là que je bloque.

(L'implication dans l'autre sens, i.e. si A vérifie cette propriété, alors elle est équicontinue, m'a l'air plus facile)

Math Coss

Un peu de $\rm\LaTeX$...

Soit A une famille de fonctions de $X$ dans $Y$. On veut montrer que $A$ est équicontinue si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\Omega$ ouvert contenant $\Delta =\{(x,x); x\in  X\}$ tel que pour tous $(x,x') \in  \Omega$ et $f \in  A$, $d(f(x),f(x'))<\varepsilon$.
Supposons que $A$ soit équicontinue sur $X$, alors pour tout $x_0 \in  X$ et tout $\varepsilon>0$, il existe $V$ voisinage de $x_0$ tel que pour $x \in  V$ et $f \in  A$, on ait $d(f(x),f(x'))<\varepsilon$.
Soit donc $\varepsilon>0$. Pour $x_0 \in  X$, on note $V_{x_0}$ le voisinage de $x_0$ témoignant de l'équicontinuité de $A$ en $x_0$. Posons $\Omega  = \bigcup_{x_0,x_0'\in X} V_{x_0} \times V_{x_0'}$.
Alors $\Omega$  est bien un ouvert de $X\times X$ comme réunion de produits d'ouverts et il contient bien $\Delta$.
Soit $(x,x') \in  \Omega$, $(x,x')$ est contenu dans l'ouvert élémentaire $V_x\times V_{x'}$ et pour tout $y \in  V_x$, $d(f(x),f(y))<\varepsilon$ et pour $z \in  V_{x'}$, $d(f(x'),f(z))<\varepsilon$.
Par inégalité triangulaire, on peut majorer $d(f(x),f(x'))< d(f(x),f(y)) + d(f(y),f(z)) + d(f(z),f(x'))$ où $y \in  V_x$ et $z \in  V_{x'}$.
Comment peut-on majorer $d(f(y),f(z))$ ? C'est là que je bloque.
(L'implication dans l'autre sens, i.e. si A vérifie cette propriété, alors elle est équicontinue, m'a l'air plus facile).

Barjovrille

Bonjour, ton $\Omega$ est trop gros, en reprenant tes notations je pense que si tu poses $\Omega= \bigcup_{x \in X} V_x \times V_x$ ça règlera ton problème. Et un voisinage n'est pas forcément ouvert il y a un petit  truc à modifier ou ajouter quand tu définis $\Omega$.

LoloDJ

Ah, mais oui, merci Barjovrille 
évidemment, c'est beaucoup mieux comme ça : pour tout x0 on appelle donc Vx0 le voisinage de x0 témoignant de l'équicontinuité de A en x0. Par définition de la notion de voisinage, cela veut donc dire qu'il existe un ouvert Ox0 contenu dans Vx0 et contenant x0.

Posons donc Ω=⋃ (pour x0 ∈ X) Ox0 x Ox0

Ω est bien un ouvert de XxX comme réunion de produits d'ouverts et contient bien Δ

Soit (x,x') ∈ Ω, ∃ x0 ∈ X tel que (x,x') soit dans Ox0 x Ox0 c'est-à-dire que x ∈ Ox0 et x' ∈ Ox0 
Donc  ∀ f ∈ A, d(f(x),f(x'))< d(f(x),f(x0)) + d(f(x0),f(x'))

d'où d(f(x),f(x'))<2ε

Math Coss a dit :

Un peu de $\rm\LaTeX$...

Merci beaucoup Math Coss, je te saurais gré de bien vouloir m'expliquer comment tu fais pour manipuler ce fameux Latex, je ne sais pas faire...