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Équicontinuité de l'adhérence d'une famille de fonctions

Modifié (April 2023) dans Analyse

Ai-je raison d'avoir des scrupules avec cette preuve ?
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Réponses

  • Quelle topologie mets-tu sur $Y^X$ ?
  • ben, a priori, par défaut, c'est la topologie de la convergence simple
  • Et comment définis-tu que $F$ est une partie fermée de $Y^X$ ?
  • Modifié (April 2023)

    Est-ce que ce n'est pas mieux ?
  • Modifié (April 2023)
    Dommage, la première démonstration me semble beaucoup plus proche des définitions. D'ailleurs, comment montres-tu que $U_x$ est un ouvert ?
    Puisque tu ne veux pas/sais pas répondre à mes questions de définitions, la topologie de la convergence simple est faite pour que par définition, un fermé est une partie stable par passage à la limite simple. Les ouverts sont moins directs à décrire.
    Donc l'adhérence de $A$ est bien constituée de toutes les limites simples de toutes les suites convergentes d'éléments de $A$, ce qui règle ton problème.
  • Ok, merci, effectivement cela règle mon problème.
    Je confirme que la topologie envisagée sur l'espace des fonctions de X dans Y est bien la topologie de la convergence simple qui peut-être vue comme la topologie produit pour laquelle les ouverts sont les réunions de produits d'ouverts de Y, donc Ux est bien un ouvert.
    Mais merci pour ton point de vue, en passant par les fermés, c'est complémentaire.

    D'ailleurs, je me dis qu'en fait, contrairement à ce que je disais, si Y est métrique, il doit bien y avoir moyen de munir l'espace des fonctions de X dans Y d'une distance qui fonctionne pour la topologie produit... ou au moins d'un écart séparé si on prend la somme pour x parcourant X des distances entre f(x) et g(x)
  • Modifié (April 2023)
    @JLapin
    Donc l'adhérence de $A$ est bien constituée de toutes les limites simples de toutes les suites convergentes d'éléments de $A$, ce qui règle ton problème.
    La caractérisation séquentielle des fermés/de l'adhérence échoue en règle générale. Par exemple, les fonctions polynomiales sont denses dans $\mathbb R^\mathbb R$ pour la convergence simple, mais tu auras du mal à faire converger une suite de polynômes vers une fonction totalement biscornue. 

    Si par contre on remplace « suites » par « suites généralisées », alors la caractérisation reste valide. 

    @LoloDJ
    D'ailleurs, je me dis qu'en fait, contrairement à ce que je disais, si Y est métrique, il doit bien y avoir moyen de munir l'espace des fonctions de X dans Y d'une distance qui fonctionne pour la topologie produit... ou au moins d'un écart séparé si on prend la somme pour x parcourant X des distances entre f(x) et g(x)
    Si $X$ est dénombrable, oui la topologie de la convergence simple est métrisable. Sinon, c'est mort. Dès que $X$ est indénombrable, la topologie de la convergence simple de $Y^X$ n'est pas métrisable (ni même à bases dénombrables de voisinages).

  • même si Y est métrique ?
  • Oui, désolé pour les bêtises.
  • Bien si $Y$ n'est pas métrique, $Y^X$ l'est encore moins ! 

    Je peux te faire la preuve. Soient $X$ un ensemble indénombrable et $Y$ un espace métrique non-trivial (sinon, $Y^X$ est un singleton...). 
    Supposons que $Y^X$ soit métrisable (ou même à bases dénombrables de voisinages). On choisit $U$ un ouvert propre non-vide de $Y$ (il en existe un car la topologie de $Y$ n'est pas grossière). On choisit un élément $y_0 \in U$ et on pose $f_0 : X\to Y~;~x\mapsto y_0$.

    Soit $(V_n)_{n\in\mathbb N}$ une base dénombrable de voisinages de $f_0$ dans $Y^X$ (pour la convergence simple). Pour chaque $x\in X$, il existe un plus petit entier naturel $n(x)$ tel que $f_0 \in V_{n(x)} \subset \pi_x^{-1}(U)$.

    Il doit exister un entier naturel $n$ tel que $X_n=\{x\in X : n(x) = n\}$ est indénombrable. Dans le cas contraire, $X = \bigcup_{n\in\mathbb N} X_n$ serait dénombrable (c'est une sorte de principe des tiroirs). Un tel $n$ étant donné, on obtient que pour tout $x\in X_n$
    $$ \pi_x(V_n) \subsetneq Y $$ Ce qui est absurde ! En effet, comme $V_n$ est un voisinage de $f_0$, on peut trouver un ouvert élémentaire $\prod_{x\in X} U_x$ contenant $f_0$ et contenu dans $V_n$ (les $U_x$ sont tous égaux à $Y$ sauf pour un nombre fini de $x$) donc pour au moins un $x\in X_n$ (principe des tiroirs) on a 
    $$  Y = \pi_x\bigg(\prod_{z\in X} U_z\bigg) \subset \pi_x(V_n) \subsetneq Y $$
  • Modifié (April 2023)
    Merci SkyMtn pour ta démonstration magistrale.

    En fait, il y a une chose que je n'avais pas bien comprise, c'est que dans la topologie produit, un ouvert est un produit pour x parcourant X d'ouverts Ux de Y parmi lesquels seulement un nombre fini est différent de Y tout entier.

    Mais il y a encore une chose que je ne comprends pas c'est que comme le dit  JLapin  :
     la topologie de la convergence simple est faite pour que par définition, un fermé est une partie stable par passage à la limite simple. 
    et ça, c'est bien vrai, non ? Je l'ai lu ailleurs, j'en ai même lu la preuve.

    (En revanche, là où on s'est collectivement trompés avec JLapin, c'est que ce n'est pas parce que un fermé est stable par passage à la limite simple que si f est dans l'adhérence de A, je pourrais trouver une suite d'éléments de A qui converge vers f.)
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