Points d'adhérence de la suite image

Ch4rstz

Bonjour
Je suis toujours dans les homéomorphismes et je cherche des contre exemples à quelque chose que je pense faux par intuition mais qui est peut-être vrai.  

Si une suite (xn) admet une valeur d'adhérence y alors pour toute fonction f la suite (f(xn)) admet pour valeur d'adhérence f(y).

C'est vrai pour les fonctions continues (pour les homéomorphismes c'est encore plus fort puisqu'on peut déduire l'ensemble des valeurs d'adhérences de f(xn) entièrement grâce à celle de (xn)) mais je n'ai pas de contre-exemple dans le cas où f est simplement continue de nouvelles valeurs d'adhérences pour (f(xn)) qui ne soit pas l'image de valeur d'adhérence de (xn)

D'autre part, je n'ai pas non plus de contre-exemples de fonctions discontinues tels que y est valeur d'adhérence de (xn) mais f(y) non valeur d'adhérence de (f(xn)).

C'est peut-être lié au fait que je ne pense qu'à des exemples dans R muni de la distance usuelle (faute de confort avec les autres espaces) mais je n'arrive jamais à m'en sortir même en prenant des fonctions extrêmement discontinues comme l'indicatrice des rationnels. SI vous avez des pistes d'espaces ou d'exemples qui confirment ces intuitions je suis preneur.

JLapin

Justement, avec l'indicatrice des rationnels, tu peux facilement exhiber une suite d'irrationnels qui converge vers $0$, dont la suite des images ne possède pas l'image de $0$ comme valeur d'adhérence.

Thierry Poma

Si $f$ est continue en un point $x_0$ adhérent à un ensemble $A$, alors $f(x_0)$ est adhérent à $f(A)$.

Ch4rstz

Ah oui pi/n ca convient par exemple puisque la suite converge vers 0, que l'image de 0 est 1 mais que la suite image est constante en 0.

Oui Thierry je suis d'accord avec ce que tu dis (je le montrerais par caractérisation séquentielle d'ailleurs) mais je recherchais plutôt à montrer que le sens inverse n'est pas automatique si on a juste f continue. C'est à dire que si y est une valeur d'adhérence de (f(un)) on ne peut pas automatiquement trouver xo une valeur d'adhérence de (un) tel que f(xo) = y.

raoul.S

Ch4rstz a dit :

mais je recherchais plutôt à montrer que le sens inverse n'est pas automatique si on a juste f continue. C'est à dire que si y est une valeur d'adhérence de (f(un)) on ne peut pas automatiquement trouver xo une valeur d'adhérence de (un) tel que f(xo) = y.

Par exemple la fonction constante égale à 1 sur $\R$ et la suite définie par $\forall n\in \N, u_n:=n$ font l'affaire. En effet $(u_n)$ n'a pas de valeurs d'adhérence mais $1$ est valeur d'adhérence de $(f(u_n))$.

PS. par contre si $f$ est définie sur un compact alors ça marche toujours...

Ch4rstz

Ah oui merci j'en suis pas encore au compact mais je note pour plus tard !