Homéomorphisme

Ch4rstz

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un aurait une idée de comment montrer qu'un homéomorphisme d'un espace métrique (X,d) dans un espace métrique (Y,d') transforme les ouverts de X en les ouverts de Y.

Je ne suis déjà pas au clair quant à ce que cela veut réellement dire.  Est-ce juste l'idée que pour un ouvert O de (X,d) f(O) est un ouvert de (Y,d') ou alors est-ce que en plus si je prends un ouvert quelconque de Y je peux l'exprimer comme image directe d'un ouvert de X ?
Merci d'avance pour vos réponses et éclaircissements.

JLapin

Utilise plutôt des images réciproques.

Poirot

Ch4rstz a dit :

Je ne suis déjà pas au clair quant à ce que cela veut réellement dire :  Est-ce juste l'idée que pour un ouvert O de (X,d) f(O) est un ouvert de (Y,d') ou alors est-ce que en plus si je prend un ouvert quelconque de Y je peux l'exprimer comme image directe d'un ouvert de X ?

Les deux sont vrais pour un homéomorphisme ! Mais la propriété dont il est question est la première : pour tout ouvert $O$ au départ, $f(O)$ est ouvert à l'arrivée. On dit que l'application $f$ est ouverte.

Ch4rstz

Oui sans même utiliser la bijectivité de $f$ ou la continuité de la réciproque, on a que pour tout ouvert de $(Y,d'): O,\ f^{-1}(O)$ est un ouvert de $(X,d)$ et que $f ( f^{-1} (O) )$ est l'image directe d'un ouvert de $(X,d)$ et donne $O$.

Donc le "sens prolongé" que je pensais plus difficile est en fait le plus simple et général. Mais je ne vois toujours pas comment trouver en utilisant l'image réciproque que si $O$ est ouvert dans $(X,d)$ alors $f(O)$ est ouvert dans $(Y,d')$. J'ai envie de prendre un ouvert $O$, de considérer $y$ dans $f(O)$ et de dire que par bijectivité il existe un unique $x$ dans $O$ tel que $y = f(x)$.

Une fois que ceci est fait il faut que je centre une boule en $y$ incluse dans $f(O)$ et là je bloque parce que je ne vois pas comment utiliser mes hypothèses...

JLapin

Vu que $f$ est une bijection, $f(O)$ est une image réciproque.

Ch4rstz

Oui effectivement merci pour vos explications !