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Oral de l’X sur un polynôme

Modifié (April 2023) dans Algèbre
Bonjour 
Existe-t-il un polynôme $P \in \Z[X]$ tel que $P(\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{3}$
Merci.
Mots clés:

Réponses

  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    $P\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{3}$ avec $P\in\mathbb{Z}[X])$ signifie $P(\sqrt{2})=\sqrt{3}$ avec $P\in\mathbb{Q}[X])$, donc qu'il existe $a$ et $b$ dans $\mathbb{Q}$ tels que $a+b\sqrt{2}=\sqrt{3}$, et par élévation au carré que $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$, ce qui n'est pas le cas.
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour,
    Note : la réponse est trivialement non quand on connait un peu de théorie algébrique des nombres, mais évidemment dans ce contexte il faut faire sans.
    Après avoir élevé au carré, il faut vérifier qu'aucun de $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ et $\sqrt{6}$ n'est rationnel. Ce qui est logique : il faut utiliser une propriété de $3$ : si on le remplace par $d$ et que $\sqrt{d}$ ou $\sqrt{2d}$ est rationnel, ça ne marche pas.
    Amicalement,
    Aurel

  • Modifié (April 2023)
    Bonjour
    Après mon élévation au carré, il faut effectivement vérifier que $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ ne sont pas rationnels, ce qui est classique, mais c'est tout. On n'a pas besoin de s'occuper de $\sqrt{6}$. 
    Cordialement,
    Rescassol
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    Soit $d$ qui n'est pas carré parfait, supposons que $a + b \sqrt{d} = \sqrt{4 d}$ avec $a,b \in \Q$. Alors par élévation au carré, $\sqrt{d}$ est rationnel. Or $a= 0, b = 2$ convient. Trouver l'erreur.
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    $\dfrac{3}{2}$ n'est pas un carré de rationnel, donc $a\neq 0$, alors que $\dfrac{4d}{d}$ l'est.
    Tu veux dire que $\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin\mathbb{Q}$ est équivalent à $\sqrt{6}\notin\mathbb{Q}$ ?

    Cordialement,
    Rescassol
     
  • Je veux dire qu'on doit forcément vérifier ($\sqrt{2} \notin \Q$ ou $\sqrt{3} \notin \Q$) et $\sqrt{6} \notin \Q$.
  • Modifié (April 2023)
    Ce qui suit n’était pas à l’oral de l’X
    Existe-t-il $R \in \Z[X,Y]$ tel que $R(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}})=\sqrt{5}$ ? Merci
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    La même méthode fonctionne, on est ramené à chercher s'il existe $a,b,c\in\mathbb{Q}$ tels que $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{5}$. On élève au carré, on isole $\sqrt{6}$ et on élève à nouveau au carré.
    Il reste à vérifier que quelques racines ne sont pas dans $\mathbb{Q}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (April 2023)
    Bonjour
    N’a-t-on pas des termes en $\sqrt{2}^n \sqrt{3}^m$ ? 
  • Bonjour,

    Suivant les parités de $n$ et $m$, $\sqrt{2}^n \sqrt{3}^m$ est un terme en $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$ ou un entier.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    Je ne suis pas d'accord avec Rescassol:
    $\exists R \in\Z[X,Y]\:\text { tel que }\: R\left(\frac1{\sqrt 2}, \frac 1{\sqrt 3}\right  )=\sqrt 5\implies \sqrt 5\in\Q(\sqrt2, \sqrt3).$
    $$\sqrt 5\in\Q(\sqrt2, \sqrt3)\iff\exists a,b, c,d \in\Q\: \text { tels que }\:a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d\sqrt 6 =\sqrt 5.$$
     Soient $\mathbb K=\Q(\sqrt 2),\:\mathbb L=\Q(\sqrt2 ,\sqrt3),\:\: \:(1,\sqrt 2, \sqrt3, \sqrt 6)$ est une $\Q\text{ -base de }\mathbb L \:$ Il faut prouver que $\: \sqrt 5 \notin \mathbb L.$
    On a vu que $\sqrt 3 \notin \mathbb K.\:$ Ainsi $\:(1,\sqrt 3)\:$ est une $\mathbb K\text{-base de } \mathbb L.\:\:$ Supposons que $\sqrt5 \in\mathbb L.$
    $\exists u,v \in \mathbb K \text { tels que }\sqrt 5 =u+v \sqrt3, \:\: 5=(u^2+3v^2)+2uv \sqrt 3\in \Q\subset \mathbb K, \:\: \boxed{uv =0, \:u^2 =5 \text { ou }v^2=\frac 53 ,\:\:u,v\in\mathbb K.}$

    Cherchons à quelle condition un élément $x$ de $\mathbb K$  est tel que $\:x^2 \in\Q.\:\: x=s+t\sqrt 2, \:\:s,t \in\Q.$
    $\boxed{x^2 \in\Q\iff st=0 \iff x^2=s^2 \text { ou } x^2=2t^2.}\:$  En appliquant cela à $x=u$ et $x=v$, on déduit:
    $(5=u^2=s^2 \text { ou }5=u^2=2t^2,\:\:s,t\in\Q),\quad $  ou  $\:(\dfrac 53=v^2=s ^2\text { ou }\dfrac 53=v^2=2t^2,\:\: s,t \in\Q).$
    On est ainsi confronté  à quatre impossibilités..

  • Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    Ah oui, Lou16, $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{5}$ est incomplet, il manque un terme en $\sqrt{6}$.
    On doit pouvoir s'en tirer avec un peu plus d'élévations au carré, mais ça devient compliqué.
    Je cherchais à m'en sortir sans utiliser de connaissances en théorie algébrique des nombres.

    Cordialement,
    Rescassol

  • C’est une belle vanne de parler de Polynôme de l’X. 
  • Bonjour,

    Dom, c'est comme les polygones de Lyon.

    Cordialement,
    Rescassol

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