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Oral ENS Saclay Rennes intégrale

Modifié (April 2023) dans Analyse
Bonjour 
Calculer $\quad\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \int_{x}^{+\infty} \exp\Big(-\frac{t^2}{2}\Big) dt dx.$
Merci.
Mots clés:

Réponses

  • C'est vraiment un oral d'ENS ? Une intégration par parties fait l'affaire.
  • Oui n97 de la rms 2022-2023 volume 2 oral ENS SR Saclay Rennes 
  • Modifié (April 2023)
    On peut aussi procéder de la sorte:
    \begin{align}J&=\int_0^\infty \left(\int_x^\infty \text{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)dx\\
    &\overset{u(t)=\frac{t}{x}}=\int_0^\infty \left(\int_1^\infty x\text{e}^{-\frac{t^2x^2}{2}}dt\right)dx\\
    &=\int_1^\infty \left(\int_0^\infty x\text{e}^{-\frac{t^2x^2}{2}}dx\right)dt\\
    &\overset{z(x)=tx}=\int_1^\infty \left(\int_0^\infty \frac{z\text{e}^{-\frac{z^2}{2}}}{t^2}dz\right)dt\\
    &\overset{w(z)=z^2}=\int_1^\infty \frac{1}{2t^2}\left(\int_0^\infty\text{e}^{-\frac{w}{2}}dw\right)dt\\
    &=\int_1^\infty \frac{1}{2t^2}\Big[-2\text{e}^{-\frac{w}{2}}\Big]_0^\infty dt\\
    &=\int_1^\infty \frac{1}{t^2}dt\\
    &=\Big[-\frac{1}{t}\Big]_1^\infty\\
    &=\boxed{1}
    \end{align} PS :
     J(A)={intnum(x=0,A,intnum(t=x,A,exp(-t^2/2)))};J(200)
    %2 = 1.000000000124184841364426695
  • On imagine les questions du jury après que formellement un candidat ait déroulé un calcul:
    Pourquoi pouvez-vous utiliser la formule d'intégration par parties, pourquoi cette intégrale est convergente etc.
  • Soit $G \sim N(0,1)$ et $I$ l'intégrale

    On calcule $$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}I = \int_{0}^{\infty} P(G \geq x)dx = \int_{0}^{\infty} E[1_{G \geq x}]dx = E[\int_{0}^{\infty} 1_{G \geq x}dx]$$

    Soit $$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}I = E[G 1_{G \geq 0}] = \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x e^{-x^2/2}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$
  • Modifié (April 2023)
    Extension donner un équivalent de
    $\displaystyle G(\epsilon)=\int_{\epsilon}^{+\infty} \int_{x}^{+\infty} \exp\Big(-\frac{t^2}{2}\Big) dt dx -1 $ quand $\epsilon $ tend vers $0$.
    Merci.
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