Oral ENS Saclay Rennes intégrale

etanche

Bonjour 
Calculer $\quad\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \int_{x}^{+\infty} \exp\Big(-\frac{t^2}{2}\Big) dt dx.$

Merci.

JLT

C'est vraiment un oral d'ENS ? Une intégration par parties fait l'affaire.

etanche

Oui n97 de la rms 2022-2023 volume 2 oral ENS SR Saclay Rennes 

Fin de partie

On peut aussi procéder de la sorte:
\begin{align}J&=\int_0^\infty \left(\int_x^\infty \text{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)dx\\
&\overset{u(t)=\frac{t}{x}}=\int_0^\infty \left(\int_1^\infty x\text{e}^{-\frac{t^2x^2}{2}}dt\right)dx\\
&=\int_1^\infty \left(\int_0^\infty x\text{e}^{-\frac{t^2x^2}{2}}dx\right)dt\\
&\overset{z(x)=tx}=\int_1^\infty \left(\int_0^\infty \frac{z\text{e}^{-\frac{z^2}{2}}}{t^2}dz\right)dt\\
&\overset{w(z)=z^2}=\int_1^\infty \frac{1}{2t^2}\left(\int_0^\infty\text{e}^{-\frac{w}{2}}dw\right)dt\\
&=\int_1^\infty \frac{1}{2t^2}\Big[-2\text{e}^{-\frac{w}{2}}\Big]_0^\infty dt\\
&=\int_1^\infty \frac{1}{t^2}dt\\
&=\Big[-\frac{1}{t}\Big]_1^\infty\\
&=\boxed{1}
\end{align} PS :

 J(A)={intnum(x=0,A,intnum(t=x,A,exp(-t^2/2)))};J(200)
%2 = 1.000000000124184841364426695

Fin de partie

On imagine les questions du jury après que formellement un candidat ait déroulé un calcul:

Pourquoi pouvez-vous utiliser la formule d'intégration par parties, pourquoi cette intégrale est convergente etc.

noobey

Soit $G \sim N(0,1)$ et $I$ l'intégrale

On calcule $$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}I = \int_{0}^{\infty} P(G \geq x)dx = \int_{0}^{\infty} E[1_{G \geq x}]dx = E[\int_{0}^{\infty} 1_{G \geq x}dx]$$

Soit $$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}I = E[G 1_{G \geq 0}] = \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x e^{-x^2/2}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

etanche

Extension donner un équivalent de
$\displaystyle G(\epsilon)=\int_{\epsilon}^{+\infty} \int_{x}^{+\infty} \exp\Big(-\frac{t^2}{2}\Big) dt dx -1 $ quand $\epsilon $ tend vers $0$.
Merci.