Points centraux du triangle et antipôle d'un sommet

gipsyc
Modifié (April 2023) dans Géométrie
Bonjour
Soit
• un triangle ABC quelconque
• 4 de ses points centraux les plus classiques
    H (orthocentre),
    I (centre inscrit),
    G (centre de gravité),
    O (centre circonscrit).
• Ma = milieu de BC
  Ha' = milieu de AH (sur le cercle d'Euler)
  S = intersection du cercle de diamètre AI
         avec le cercle circonscrit

Montrez que les droites
   AO, SI, Ha'G et HMa
sont concourantes sur le cercle circonscrit au niveau de l'antipôle du point A
(c'est naturellement évident pour AO ... et très facile pour HMa).

Inspiré de Karl Czakler
[53rd Austrian Mathematical Olympiad]

Cordialement,

Jean-Pol Coulon

Réponses

  • Bonjour Jean-Pol,
    Pour $HMa$, c'est en effet facile, si l'on se rappelle que le point $H'$, symétrique de $H$ par rapport à $BC$, appartient au cercle circonscrit, et que la parallèle à $BC$ passant par ce point $H'$, puisqu'elle fait un angle droit avec $AH'$, recoupe le cercle circonscrit en $A'$, l'autre extrémité du diamètre issu de $A$.
    Pour ce qui est de $SI$, il suffit de voir que dans le cercle de diamètre $AI$, l'angle inscrit $ASI$ intercepte un demi-cercle et donc est droit, et que par conséquent, la droite $SI$ passe bien par $A'$, l'autre extrémité du diamètre $AA'$ dans le cercle $(O)$.
    Pour ce qui est de $Ha'G$, il suffit de considérer le triangle $AHA'$ et ses deux médianes $AMa$ et $HO$, qui se coupent en $G$, puisque $AG  = 2.AMa$ (dans $ABC$) et $HG = 2.GO$ (droite d'Euler de $ABC$). $Ha'$ étant le milieu de $HA$, $Ha'G$ est donc la troisième médiane de $AHA'$ et passe par conséquent par $A'$.
    Merci de m'avoir fait découvrir ces alignements.
    Bien cordialement, JLB
  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour Jelobreuil
    Merci pour cette réponse, qui est bien celle que j'attendais.
    La question originale (avec d'autres lettres) ne considérait que les points centraux I et O (U dans la question). Elle fut posée aux 53e olympiades de mathématiques en Autriche.

    Une simple histoire de diamètres et de triangles rectangles
    Les autres points centraux sont rajoutés par moi.
    J'aurais voulu rajouter le point de Lemoine Le, mais je n'ai pas trouvé de point X lié au point A permettant de tracer une droite Le X passant par A'.
    Belle soirée,
    Jean-Pol Coulon 
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