Densité de la loi de Student

Stark01

Bonjour à tous !
Je m'adresse à vous pour une petite précision car je n'arrive pas à trouver de réponse sur le net.
Mon problème est le suivant :

comment trouver la densité de probabilité d'un quotient de variables aléatoires ?

***Prenons un exemple.
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite $ N(0,1)$. Si je cherche à calculer la densité de $ Y= \sigma x + \mu $ il suffit que je pose $ f $ une fonction réelle positive, continue et bornée. Puis calculer l'espérance de $ f(\sigma X + \mu) $ pour expliciter la densité de $Y$.
J'ai donc (avec un changement de variable $ t= \sigma x + \mu $) la relation suivante :
$ \mathbb{E}[f(\sigma X + \mu)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(\sigma x + \mu)  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{x^2}{2}) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}) \,dt  $.
Comme cela est vrai pour toute fonction f, on peut à l'aide du théorème de transfert expliciter la densité de $Y$ qui est donc la fonction qui à $t$ associe $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})$ (c'est donc bien une gaussienne)

***Le problème se pose quand j'ai deux variables aléatoires, en fait j'essaie de retrouver la loi de Student en montrant que le quotient $Z$ suit cette loi : $ Z = \frac{U}{\sqrt{V/n}} $ avec $U$ qui suit une loi normale centrée réduite et $V$ qui suit une loi du $ \chi_{n}^{2} $.

J'ai pensé à faire comme avant (..poser une fonction f(Z) ) sauf qu'avec deux variables aléatoires, ai-je le droit d'écrire cela dans mon intégrale ? (en posant $u$ et $v$ les densités de probabilité de $U$ et de $V$)
$  \mathbb{E}[f( \frac{U}{\sqrt{V/n}})] = \int_{-\infty}^{\infty} f( \frac{U}{\sqrt{V/n}})u(x)v(x)\, dx $
Enfin bref, j'aimerais savoir comment poser ce que je dois mettre dans l'intégrale pour retrouver la densité de probabilité de mon quotient de variables aléatoires.

Je vous remercie par avance pour vos retours et vous souhaite une excellente soirée.
Amicalement,
Stark.

Stark01

Si vous pensez qu'une autre méthode est plus simple n'hésitez pas à m'en faire part.

P.2

$Z$ étant symétrique tu peux te contenter de calculer $E(|Z|^s)$ qui est immédiat, et comparer le résultat avec les lois beta de deuxième espèce $$Y\sim \frac{1}{B(a,b)}\frac{y^{a-1}}{(1+y)^{a+b}}I_{(0,\infty)}(y)dy,$$ car $E(Y^s)=\dfrac{B(a+s,b-s)}{B(a,b)}.$

raoul.S

Juste pour corriger ceci : 

Stark01 a dit :
ai-je le droit d'écrire cela dans mon intégrale ? (en posant $u$ et $v$ les densités de probabilité de $U$ et de $V$)

$  \mathbb{E}[f( \frac{U}{\sqrt{V/n}})] = \int_{-\infty}^{\infty} f( \frac{U}{\sqrt{V/n}})u(x)v(x)\, dx $

C'est plutôt une intégrale double : $  \mathbb{E}[f( \frac{U}{\sqrt{V/n}})] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f( \frac{x}{\sqrt{y/n}})u(x)v(y)\, dx\, dy $

Stark01

Bonjour

Je vous remercie pour vos réponses.

Malgré quelques recherches je n'ai pas vraiment compris comment retrouver cette forme à l'aide de $E(|Z|^s)$. En effet je n'ai pas (encore) étudié les lois bêta de deuxième espèce (je suis actuellement en L3). J'ai pu malgré tout me familiariser avec : ici une page que j'ai trouvé qui porte sur ces lois  pour les curieux (https://homeomath2.imingo.net/loibeta.htm ). Si vous avez le temps P.2, j'aimerais savoir comment procéder avec plus de détails.

En revanche j'ai cette démonstration plus classique que je peux vous partager.

Je reprends les mêmes notations avec $U$ qui suit une loi normale centrée réduite et $V$ qui suit une loi du $\chi_{n}^{2}$

En partant de la définition de la fonction de répartition on a que : 
$F_{Z}(t) = \mathbb{P}(Z \leq t) = \mathbb{P}( \frac{U}{\sqrt{V/n}} \leq t) = \iint \nolimits_A f_U(x) f_V(y) dxdy$ avec $A=\left\{ (x,y) \in \R \times \R^{+} \mid x \leq \frac{t\sqrt{y}}{\sqrt{n}} \right\}.$
Je trouve donc : 
$F_{Z}(t) = \int_{0}^{+\infty} f_V(y) \int_{-\infty}^{\frac{t\sqrt{y}}{\sqrt{n}}} = \int_{0}^{+\infty}f_V(y) F_U(\frac{t\sqrt{y}}{\sqrt{n}})$,

avec $F_U$ la fonction de répartition de $U$.

En dérivant une fois on retrouve la densité de probabilité qu'on cherche :
$f_Z(t) = F_Z'(t) = \int_{0}^{+\infty}f_V(y)f_U(\frac{t\sqrt{y}}{\sqrt{n}})\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{n}}dy$
En remplaçant avec les densités $f_U$ et $f_V$ et en manipulant un peu on trouve au final : 

$f_Z(t) = \frac{1}{\sqrt{n}2^{n/2}\Gamma(n/2) \sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} y^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{y}{2}(\frac{t^2}{n}-1)} $
Ici un changement de variable $u = \frac{y}{2} (1+t^2/2)$ permet de trouver finalement la densité de la loi de Student.

$f_Z(t) = \frac{1}{\sqrt{n\pi}} \frac{\Gamma( \frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}$

Je vous souhaite une bonne journée !

Milas

Stark01 a dit :

Si vous pensez qu'une autre méthode est plus simple n'hésitez pas à m'en faire part.

Bonjour 
Tu peux essayer un changement de variables en dimension deux.