Compacité et Borel-Lebesgue dans un espace métrique

Julia Paule

Bonjour, ce document démontre l'équivalence, dans un espace métrique, entre la propriété de Borel-Lebesgue, que j'appelle $P3$ et celle de Bolzano-Weierstrass  (caractérisant les compacts), que j'appelle $P1$ : https://www.normalesup.org/~baglio/maths/Borel-Lebesgue.pdf

Il me semble que ces propriétés sont aussi équivalentes à celle décrite dans le lemme 3, que j'appelle la propriété des fermés $P2$, à savoir : si $(F_n)_{n \in \N }$ est une suite décroissante de fermés non vides de $E$, alors $\cap_{n \in \N } F_n \ne \emptyset$.

En effet, la démonstration du théorème 1. point 1 (qui montre $P3 \Rightarrow P1$), n'utilise pour un espace qui vérifie Borel-Lebesgue, que la propriété $P2$, donc on aurait $P2 \Rightarrow P1$, le point 2. montre $P1 \Rightarrow P3$, et le lemme 3 montre $P3 \Rightarrow P2$.

Me trompèé-je quelque part ?

Ceci m'intéresse, parce que je trouve que la propriété des fermés permet de rendre plus compréhensible l'équivalence (toujours dans les espaces métriques) entre la propriété de Bolzano-Weierstrass et celle de Borel-Lebesgue.

Merci d'avance.

Math Coss

Julia Paule a dit :

Me trompè-je quelque part ?

Oui : il faut un accent aigu, pas grave.

raoul.S

Julia Paule a dit : 

Me trompè-je quelque part ?

C'est juste. Par contre il n'y a plus équivalence entre P2 et les autres dans les espaces topologiques généraux (car tu considères des suites de fermés).

Julia Paule

Merci. @Math Coss, alors cela ne s'écrit pas comme cela se prononce.

@raoul.S pourquoi des suites de fermés empêchent l'équivalence dans les espaces topologiques généraux ?

En fait, j'ai du mal à comprendre l'équivalence entre $P1$ et $P3$, et même d'où sort $P3$ (Borel-Lebesgue) seulement.

$P2$ me permet de mieux comprendre, car je comprends bien l'équivalence entre $P1$ et $P2$, et on a aussi l'envers de $P2$ avec les ouverts, disons $P4$ (qui lui est équivalente) : si $(O_n)$ est une suite croissante d'ouverts de $E$ distincts de $E$, alors $\cup_n O_n \ne E$.

De $P4$ on a alors l'équivalence avec $P3$ (Borel-Lebesgue), les 2 propriétés signifiant que $E$ ne peut être atteint avec des ouverts qu'avec un recouvrement fini.

Avec $P1$, je comprends bien les espaces non compacts : il y a un manque de matière (par exemple $[0,2] \cap \Q$ et une suite d'intervalles décroissants de longueur tendant vers $0$ encadrant $\sqrt 2$, leur intersection est vide).

Avec $P3$, j'arrive aussi à comprendre les espaces non compacts, par exemple $]0,1[$ qui est recouvert par les intervalles $]1/n, 1-1/n[$ sans qu'un nombre fini soit suffisant, ou $\R$ avec les intervalles $]-n, n [$, ça marche, mais pour des situations bien différentes.

Bref, ce qui m'étonne, ce sont toutes ces situations différentes qui peuvent être regroupées sous une même définition (compact ou non compact).

Alors, comment le comprenez-vous ?
Historiquement, savez-vous comment sont advenues ces 2 propriétés (B-L et B-W) dans un espace métrique, et leur équivalence ?
(il faut peut-être que je voie un cours sérieux de topologie générale, je n'ai vu jusqu'à présent que des cours plutôt incomplets).
Merci de m'avoir lue.

gerard0

Julia-Paule, il y a souvent confusion avec l'imparfait ("me trompais-je"), mais, là où on fait bien la différence entre é et è (ai), on prononce correctement le présent "me trompé-je" avec un é placé pour éviter le "pje" ou "pe je".
Cordialement.

GaBuZoMeu

Bonjour,
"pourquoi des suites de fermés empêchent l'équivalence dans les espaces topologiques généraux ?"
C'est simplement qu'une suite de fermés, c'est moins général qu'une famille de fermés.

raoul.S

Julia Paule a dit :

@raoul.S pourquoi des suites de fermés empêchent l'équivalence dans les espaces topologiques généraux ?

La dénombrabilité c'est trop restrictif, voici un contre-exemple qui requiert la connaissance des ordinaux : tu considères $\omega_1$ le premier ordinal non dénombrable et tu le munis de la topologie de l'ordre (remarque que $\omega_1$ est égal à "l'intervalle" $[0,\omega_1[$ qui n'est pas compact car ouvert à droite). Alors dans $\omega_1$, toute suite décroissante de fermés non vides $(F_n)_{n \in \N }$ possède une intersection $\cap_{n \in \N } F_n$ non vide. Ta propriété P2 est donc vérifiée mais  $\omega_1$ ne vérifie pas la propriété P3 de Borel-Lebesgue.

Si ça ne marche pas dans l'espace $\omega_1=[0,\omega_1[$ c'est parce que ce dernier vérifie la propriété "étonnante" suivante : toute suite $(\alpha_n)$ de $\omega_1$ est majorée (remarque la différence avec l'intervalle $[0,1[$, ici la suite $(1-1/n)$ n'est pas majorée...)

Remarque : la bonne propriété qui ressemble à P2 avec les fermés est la suivante : toute famille $(F_i)_I$ de fermés non-vides, stable par intersections finies, a une intersection non vide.

Julia Paule a dit :

En fait, j'ai du mal à comprendre l'équivalence entre $P1$ et $P3$, et même d'où sort $P3$ (Borel-Lebesgue) seulement.

Effectivement ce n'est pas très intuitif pour moi non plus. Mais la véritable notion topologique est celle de Borel-Lebesgue. C'est la généralisation aux espaces topologiques de la notion d'ensemble fini pour les ensembles. Ça vaut ce que ça vaut...

Julia Paule

Merci à vous. @raoul.S je n'ai plus en tête les ordinaux et je suis en déplacement. Qu'entends-tu par stable par intersection finie, toute intersection finie est non vide ? (j'arrive à montrer l'équivalence dans ce cas)
Sinon les espaces topologiques ne sont pas au programme de MP, c'est pourquoi le papier se limite aux espaces métriques. En effet la démonstration P2=> P1 utilise les boules ouvertes, elle doit faillir pour les espaces topologiques. (car dans ces espaces on a P2=>P3, mais pas la réciproque, et P3=>P1 n'utilise pas la distance).
Bref, je verrai tout ça en rentrant chez moi.

raoul.S

Julia Paule a dit :

Qu'entends-tu par stable par intersection finie, toute intersection finie est non vide ? (j'arrive à montrer l'équivalence dans ce cas)

Ça veut dire que l'intersection de deux éléments de la famille est encore dans la famille.