Exercice 1552 (source ce site)

samok

Un anneau $(A,+,\times)$, où $\forall\,x,\,y\, : (xy)^2=x^2y^2$, serait commutatif.

Je voudrais mesurer mon degré d'incompétence mathématique :

-> cet exercice est facile ou il y a une astuce aussi belle qu'inaccessible pour un imbécile tel que moi ?

JLT

Appliquer l'identité à $x+1$ à la place de $x$.

samok

Merci JLT,
en notant 2=1+1 je prouve que : $\forall\,x,\,y\, : 2(xy-yx)=0$
c'est déjà pas mal.

gebrane

Je ne sais pas ce que je rate car si on suit JLT, on prouve seulement $yxy=xy^2$, il "faut" ensuite remplacer y par y+1 pour conclure  xy=yx.

samok

Ah ? Comment conclues-tu gebrane après la substitution de $y$ par $y+1$ ?

gebrane

Samok  Tu fais tes calculs ou demandes à ChatGPT de les faire pour toi 

JLT

Oui j'ai fait comme gebrane.

samok

Jean demandait en partant :
Voyons voir l'énoncé suivant.

gebrane

Samok

Pour mesurer ton  degré de compétence mathématique , je te modifie la question en :

Un anneau $(A,+,\times)$, où $\forall\,x,\, : x^2=x$, serait commutatif.

Bonus pour ton amie Jean .  Est-il nécessairement intègre ?

samok

Chalut gebrane
On aurait donc $\forall\,x,\,y\, : (xy)^2=xy=x^2y^2$.
D'après le théorème de gebrane-JLT, $A$ est commutatif.
Par ailleurs avec l'astuce de remplacer $x$ par $x+1$, on aurait $\forall\, x\, :  x(x+1)=0$.
À part $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ il ne serait pas très intègre.

J'ai bon M'sieur ?

Area 51

Il n'y a aucune raison que $A$ contienne un élément $1$ ?

JLT

Un anneau contient un élément unité par définition.

gebrane

Démontre edit  ( Merci JLT)  la non-intégrité si l'anneau contient au moins 3 éléments. Sa mok pas !

JLT

Tu veux dire la non-intégrité ?

gebrane

Oui la non-integrité en utilisant le fait que xy(x+y)=0.

gebrane

Samok,
je vais doser d'une manière extrême la question dont peu sont en mesure de la traiter
Un anneau $(A,+,\times)$, où $\forall\,x,\ x^3=x$, serait commutatif.

JLapin

C'est tout de même beaucoup plus simple à traiter que la généralisation suivante :

un anneau où pour tout $x$, il existe $p\geq 2$ tel que $x^p=x$, est commutatif.

Il y a quelques questions intermédiaires dans l'exercice 7 de cette page http://ddmaths.free.fr/section302.html

gebrane

Bonjour Llapin. Je suppose que samok ne regarde pas ailleurs dans le sens que le premier qui a inventé-traité la question n'avait pas besoin d'etapes intermédiaires 

JLapin

Je suppose que samok fait ce qu'il veut, en plus de faire pas mal de jeux de mots.

gebrane

Pour paraître plus honnête, je ne suis pas parmi les rares qui peuvent traiter cette question sans qu'on leur donne des étapes intermédiaires . 

samok

Supposons que la cardinalité de $A$ soit supérieure ou égale à trois :

1) $\exists \, x\,:\,x\neq0 \wedge x\neq1$ VRAI par supposition
2) $\forall \, x\,:\,x(x-1)=0$ VRAI car $\forall \, x\,:\,x^2=x$
soit $i$ un élément issu de 1) (je fais pas ce que je veux, mais j'ai le droit d'utiliser l'axiome du choix quand je veux)
D'une part $i\neq 0$
D'autre part $i-1=0 \, \rightarrow i=1$, or $i\neq1$ selon 1), donc $i-1\neq0$
Mais $i(i-1)=0$ d'après 2)
$(A,+,\times)$ n'est pas intègre.

Je suis compétent en mathématiques ou en logique, ou pas ?

gebrane

Tu es  compétent, rien à dire . Donne moi aussi un exercice pour tester ma compétence en maths

samok

Chalut gebrane,
je ne cite pas les ours, l'énoncé est ci-dessous :

Un tapis extensible en caoutchouc mesure initialement 4 m de long.
Un escargot a décidé de le parcourir entièrement.
Chaque journée, l'escargot progresse d'un mètre.
Mais chaque nuit, pendant que l'escargot se repose, le tapis s'allonge de deux mètres qui se répartissent uniformément sur toute la longueur.
Au bout de combien de temps l'escargot parviendra-t-il au bout du tapis ?

Est-ce que ce monde est sérieux demandait Idir ? à moins que ce ne soit Francis Cabrel ? ou les deux.

gebrane

Bonsoir sa mok .

Par isomorphisme, donc sans perte de généralité, on peut supposer que l'escargot est  à  4 mètres de la surface d'un puits. L'escargot montre  1 mètre pendant la journée, mais descend de 2 mètres pendant la nuit. En conséquence, il ne pourra jamais faire surface .

J'ai bon ?

Rescassol

Bonne nuit,

Il a une pelle pour creuser au fond du puits ?

Cordialement,
Rescassol

gebrane

Bien vu !

gebrane

Une énigme :

Neuf membres des mathématiques.net , avec des pseudonymes courts, se sont placés comme sur la figure. Ils se sont arrangés de telle manière que deux membres ne se trouvent pas sur la même rangée horizontale, verticale ou diagonale.

Trois d'entre eux décident de changer de place en se déplaçant dans une des cases voisines libres. Les six autres membres restent à leur place. Le plus curieux est que tous les neuf membres se retrouvent dans une position où deux membres ne se trouvent pas sur la même rangée horizontale, verticale ou diagonale.

Quels sont les trois membres qui ont bougé et dans quelles cases se sont-ils déplacés ?

Rescassol

Bonjour,
Samok, je dirais au bout de $21$ jours.
Tu aurais pu t'arranger pour que ce soit $42$ jours.
Cordialement,
Rescassol

samok

Bonjour Rescassol,
non ce n'est pas ça.

JLT

Au bout de 1 jour, l'escargot est à 1,5m du point de départ.

Au bout de 2 jours, l'escargot est à 3,33m du point de départ.

...

Au bout de 9 jours, l'escargot est à 21,22m du point de départ tandis que l'élastique fait 22m.

Donc l'escargot arrive au bout après un peu plus de 9 jours.

gebrane

Sam ok, tu as prouvé mon incompétence en maths devant l'assemblée. Je n'avais pas pris au sérieux ta question.

Rescassol

Bonjour
Avec Matlab:

u=0; n=0; L=4;
while u<L
    n=n+1;
    u=u+1+2*(u+1)/L;
    L=L+2;
    [n u L]
end

% Les deux derniers affichages sont:
% 9.0000   21.2187   22.0000
% 10.0000   24.2385   24.0000

Donc, je suis finalement d'accord avec JLT.
Cordialement,
Rescassol

gebrane

[1, 1.5, 6]
[2, 3.3333333333333335, 8]
[3, 5.416666666666668, 10]
[4, 7.700000000000001, 12]
[5, 10.150000000000002, 14]
[6, 12.742857142857146, 16]
[7, 15.460714285714289, 18]
[8, 18.289682539682545, 20]
[9, 21.2186507936508, 22]
[10, 24.238528138528146, 24]
L'escargot parviendra au bout du tapis le jour 10

Question. Si l'on suppose que l'escargot avance d'un mètre chaque jour pendant les 12 heures de la journée de manière uniforme dans le temps, et que l'étirement du tapis se fait également de manière uniforme pendant les 12 heures de la nuit, à quelle minute l'escargot fait-il surface ?

samok

La géométrie n'est pas morte, elle se repose

Avec GeoGebra (je crois que je me suis vautré dans mes notations à la fin)

JLT

Autre question : cette fois-ci la longueur initiale du tapis est L. Soit T(L) le nombre de jours nécessaires pour arriver au bout. Déterminer un équivalent de T(L) quand L tend vers l'infini.

samok

Autre question : quelle est la longévité d'un escargot ?

gebrane

Pour la question de JLT  ( je ne réponds pas pour le moment), soit $u_n$ la distance parcourue le jour $n$. la suite vérifie la récurrence  $u_0=0$ et $\forall n\geq 1, u_n =\dfrac{L+2n}{L+2n-2}( u_{n-1} + 1 )$ . La longueur du tapis au jour $n$ est $L+2n$, donc normalement $T(L)=min\{n, u_n>L+2n\}$ 

 Exemple de code pour L=4

u = [0]
L = 4

for n in range(1, 11):
    u_n = (u[n-1]+1)*((L+2*n)/(L+2*n-2))
    u.append(u_n)

print(u)

gebrane

Sam ok, compris.
Tu n'as pas répondu à mon énigme https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2422489/#Comment_2422489

samok

Entendu.

gebrane

Bonjour @JLT , Je ne sais pas répondre à ta question car je ne vois pas comment exprimer ton T(L) d'une manière exploitable

JLT

Je n'ai pas fait le calcul jusqu'au bout mais si tu poses $v_n=\dfrac{u_n}{L+2n}$ tu obtiens $v_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{L+2k}$ j'imagine que ça aboutit à quelque chose ?

gebrane

On trouve $v_n\sim \frac{\ln n}2$ et d'où $u_n\sim n\ln n$ mais ta question porte sur $T(L)$. Je ne vois pas comment exprimer ce $T(L)$ autrement que de dire que c'est le minimum de $n$  (le jour minimal) tel que $u_n>L+2n$.

JLT

A vérifier : $v_n$ est environ égal à $\frac{1}{2}\mathrm{ln}(1+\frac{2n}{L})$. On veut que $v_n$ soit environ égal à $1$, ce qui donne $T(L)\sim \frac{e^2-1}{2}L$.

Edit : rajout d'un terme "1+" oublié.

gebrane

Intéressante comme démarche 

gebrane

@samok, tu me laisse seul ?

JLT a dit :

A vérifier : $v_n$ est environ égal à $\frac{1}{2}\mathrm{ln}(1+\frac{2n}{L})$.

On a $$\sum_{k=1}^n \frac 1{L+2k} \leq \int_0^n \frac 1{L+2x}dx\leq \sum_{k=0}^{n-1} \frac 1{L+2k}=v_n$$

donc $$v_n\sim \int_0^n \frac 1{L+2x}dx=\frac 12 [\ln(L+2x]_0^n=\frac{1}{2}\mathrm{ln}(1+\frac{2n}{L})$$

On remplace $n$ par $T(L)$ donc on veut que $\displaystyle \lim_{L\to +\infty} v_{T(L)}=\lim_{L\to +\infty} \frac{1}{2}\mathrm{ln}(1+\frac{2T(L)}{L})=1$ et on conclut  $\displaystyle \lim_{L\to +\infty} \frac{T(L)}L$

JLT

Dans le début de ton message tu fais comme si L est fixé et n tend vers l'infini tandis qu'après tu remplaces n par T(L) donc c'est louche.

gebrane

Dans ce cas on oublie le n et je note $v(L)=\sum_{k=0}^{T(L)} \frac 1{L+2k}$ et on démontre que

$$v(L)\sim^{L\to \infty}  \int_0^{T(L)} \frac 1{L+2x}dx=\frac{1}{2}\mathrm{ln}(1+\frac{2T(L)}{L})$$ Puis la condition $\displaystyle \lim_{L\to +\infty} v(L)=1$ donne le résultat

samok

Je ne t'abandonnerai jamais sur une aire d'autoroute sieur gebrane

gebrane

Merci c'est gentil. Pour l’énigme tu bloques? Chaque personne peut sauter sur l 'une des 8 cases voisines.

JLT ne dit rien donc il est satisfait par ma dernier approche.

samok

Bonjour gebrane
voici une solution sur une grille disons classique (JLT n'a que 5 cases possibles de déplacement si tant est qu'il n'entre pas en collision avec AD) :

peut-être y en a-t-il d'autre sur un cylindre, un tore, une bouteille de Klein ou encore la sphère projective.

gebrane

Bien vu, compagnon. Il y a une autre solution  Fait bouger Dom.
Donne moi une autre énigme et cette fois ci je vais te prendre au sérieux