Cercles sécants et polygones cycliques semblables
Bonjour
Ci-dessous une propriété bien connue, mais présentée de manière moins habituelle.
Soit
• 2 cercles sécants (bleus)
c₁︎(O₁︎,r) et c₂︎(O₂︎,R)
r = O₁︎P et R = O₂︎P
• c₁︎ n c₂︎ = P et Q
• un faisceau de n droites (ici 4) passant par P,
coupant à l'intérieur du plus grand cercle les 2 cercles
en 2 ensemble de points A₁︎, B₁︎ ... et A₂︎, B₂︎ ...
Montrer que
• les 2 polygones cycliques (ici quadrilatères) sont semblables, et donc dans un même rapport de grandeurs que celui entre leur rayon circonscrit respectif
• Les points d'intersection des côtés ou diagonales ou diamètres homologues passant par une paire de points homologues (par exemple ici A1 et A2) sont cocycliques avec les points A₁︎ et A₂︎ (dans cet exemple) mais également Q.
• Ces points d'intersection réalisent à chaque intersection un angle égal à celui entre les rayons des deux cercles par le point P. Notons que le sens de rotation des angles entre les côtés homologues et les rayons est inversé.
Ci-dessous une propriété bien connue, mais présentée de manière moins habituelle.
Soit
• 2 cercles sécants (bleus)
c₁︎(O₁︎,r) et c₂︎(O₂︎,R)
r = O₁︎P et R = O₂︎P
• c₁︎ n c₂︎ = P et Q
• un faisceau de n droites (ici 4) passant par P,
coupant à l'intérieur du plus grand cercle les 2 cercles
en 2 ensemble de points A₁︎, B₁︎ ... et A₂︎, B₂︎ ...

Montrer que
• les 2 polygones cycliques (ici quadrilatères) sont semblables, et donc dans un même rapport de grandeurs que celui entre leur rayon circonscrit respectif
• Les points d'intersection des côtés ou diagonales ou diamètres homologues passant par une paire de points homologues (par exemple ici A1 et A2) sont cocycliques avec les points A₁︎ et A₂︎ (dans cet exemple) mais également Q.
• Ces points d'intersection réalisent à chaque intersection un angle égal à celui entre les rayons des deux cercles par le point P. Notons que le sens de rotation des angles entre les côtés homologues et les rayons est inversé.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Jean-Pol Coulon
Réponses
-
Bonjour, Jean-Pol,
C'est joli, ça, je ne connaissais pas !
Bien cordialement, JLB -
Bonjour à tous
Et pourtant il n'y a rien de plus banal.
Voir le Lebossé-Hémery, page 150, article 244.
Amicalement
pappus -
Bonjour à tousOn peut aller du premier cercle au second en passant par un point d'intersection puis revenir du second au premier en passant par l'autre. On peut ensuite itérer le procédé.
Sur la figure ci-dessous je me suis arrangé pour que cela se referme au bout de trois fois.
Comment ai-je fait ?
Amicalement
pappus -
Bonjour pappusUne belle application du théorème de Reim sur ce nouveau schéma.Mais cela ne correspond pas à mon schéma : les deux polygones n'ont pas leurs côtés homologues parallèles dans mon schéma : ils ne sont pas construits par des droites passant par les deux points d'intersection.
Sur mon schéma, c'est bien le faisceau passant par un seul (P) des deux points d'intersection qui détermine les paires de points homologues, un sur chaque cercle.
Aucune droite par ces paires de points homologues ne passe donc par l'autre point d'intersection (Q).Une justification (J. Casey, A sequel to Euclid)(communiqué par Starick Yakoff)Reste la deuxième partie de la question, l'angle de rotation entre les côtés homologues des deux polygones, qui, une fois dessiné, paraît évident (même angle que celui entre les rayons circonscrits par P, mais en sens inverse).
Cet angle se reporte entre tous les segments homologues passant par deux points homologues (A₁︎ et A₂︎), donnant des points d'intersection cocycliques avec ces deux points.
Mais pourquoi ce cercle passe-t-il par Q ?Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Bonjour
Pour la petite histoire, ma première communication (reprise telle qu'elle, non traduite) sur cette question était graphiquement moins jolie, mais sans doute plus complète, si ce n'est la construction des points d'intersection cocycliques.
Et pour remonter mon fil conducteur:
Jean-Pol Coulon
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