Adhérence et convergence

GGG123

Bonjour 

On se place dans l'espace métrique (R, |. |).
Notons T la topologie engendrée par la distance |.|

Vide et R sont à la fois ouverts et fermés.
Et donc l'adhérence de R est R lui même.
Cependant ce que je n'arrive pas à comprendre c'est que si on prend par exemple la suite définie par Un=n, cela ne converge pas dans R mais dans Rbar
L'adhérence de R est donc R ou Rbar et sinon pourquoi R est fermé alors qu'on trouve des suite à valeur dans R qui converge mais pas dans R.

Alesha

Bonsoir

Tu considères deux espaces topologiques différents : $\mathbb{R}$ et $\overline{\mathbb{R}}$. C'est pourquoi, quand tu écris par exemple "$\mathbb{R}$ est fermé" ou "la suite $U$ est convergente", c'est suffisamment ambigu pour que tu te mélanges les pinceaux; je crois que si, à chaque fois que tu écris quel espace topologique tu considères ($\mathbb{R}$ ou $\overline{\mathbb{R}}$), tu répondras de toi-même à ta question.

gerard0

Attention,
dans $\mathbb R$, la suite définie par $u_n=n$ ne converge pas. C'est tout !
Cordialement.

Titi le curieux

Une autre remarque:
 Toute suite convergente d'éléments d'un fermé converge dans le fermé. Ça ne signifie pas que toute suite d'éléments d'un fermé converge.