Enlever un point sur quatre

marco

Bonjour,

Soit $A$ un ensemble de points de $\Z^2$ de cardinal $n$. Pour tout $(x,y) \in \Z^2$, soit $B(x,y)= \{(u,v) \in\Z^2 ~|~u>x~ \mathrm{ou}~ v>y\}$ et $C(x,y)=\{(u,v) \in\Z^2 ~|~u<x ~\mathrm{ou}~ v<y\}$. Est-ce qu'il existe $(x,y) \in \Z^2$, tel que $|A \cap B(x,y)|$ et $|A\cap C(x,y)|$ soient de cardinal inférieur ou égal à $\frac{3}{4}n$ ?

Merci.

marco

Vraisemblablement, c'est faux si on considère l'ensemble des point $(u,u)$ pour $u \in \{1, \dots, n\}$ et $n$ suffisamment grand.

bisam

Ton contre-exemple n'en est pas un : on peut prendre par exemple $(x,y)=(n/2,n/2)$ et les deux cardinaux demandés sont (environ) égaux à $n/2$ donc inférieurs à $3n/4$.

LOU16

Bonjour,

$n\in\N^*, \:\:A =\left\{(-k,k)\mid k\in[\![1;n]\!]\right\}.\:\:$ Il me semble que :
$$|A| =n,\quad\forall(x;y) \in\Z^2, \quad|A\cap B(x,y)|\geqslant n-1 \ \text{ ou }\ |A\cap C(x,y)|\geqslant n-1,$$

ce qui fournit donc une réponse négative  à ta question.

marco

Oui, merci @LOU16 et @bisam .