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Topologie définie par une distance et par un écart séparé

Bonjour, j'ai la proposition suivante :
Soit X un ensemble muni d'un écart séparé. Pour tous x et y dans X, on définit d(x,y)=inf{e(x,y),1}. Alors les topologies de X définies par la distance d et par l'écart e sont identiques.
Pour la démonstration, est-ce que ça va si on remarque que toute boule pour l'écart centrée en x et de rayon r contient la boule pour la distance centrée en x et de rayon r si r<=1 et de rayon 1 sir r>1 ? Et que réciproquement, toute boule pour la distance centrée en x et de rayon r (qui est forcément inférieur ou égal à 1) contient la boule pour l'écart centrée en x et de rayon r ?
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Réponses

  • En général, quand on demande à quelqu'un si sa démonstration est correcte, c'est qu'on n'y croit pas soi-même...
    Je ne sais pas à quel niveau tu te situes, mais je pense que tu gagnerais à écrire la démonstration de manière super propre.
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour, voici des éléments qui te permettront d'écrire une démonstration propre.
    Soit $X$ un ensemble. Soit $\tau_1$, $\tau_2$ deux topologies sur $X$. Alors $\tau_1=\tau_2$ si et seulement si pour tout $x \in X$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour $\tau_1$ est égal à l'ensemble des voisinages de $x$ pour $\tau_2$.
    Et une propriété, si $V_1$ est un voisinage de $x$ pour $\tau_1$ et  $V_1 \subset V_2$ alors $V_2$ est un voisinage de $x$ pour $\tau_1$.
    Si tu arrives à faire le lien entre ce que je viens de dire et ce que tu as écrit ça répondra à ta question.

  • Modifié (April 2023)
    Ok, j'ai fait ceci :

  • C'est juste.
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