Polytechnique maths A MP 2023

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Réponses

  • Madec
    Modifié (May 2023)
    Merci JLapin
    ta proposition (astucieuse) enlève mes doutes et répond très bien à la question. 
    Le corrigé était bien rapide sur ce coup, mais globalement je l'ai trouvé bien à quelques coquilles près.
    @gebrane
    Bon avec cette correction  "elliptique" sur cette question  j'avais tendance à tourner en rond , et comme on sait, d'après Audiard  le faire trop longtemps est mauvais signe.
    Oshine me pardonnera.
  • J'ai enfin compris la 16.a, il m'aura fallu quand même analyser les différents messages et près d'une demi heure pour comprendre la logique. 
    Cette question demande beaucoup de prises d'initiatives. Je la trouve très difficile. 

    @bd2017
    Je ne fais pas de faute de logique sur des choses aussi élémentaires. J'ai révisé la logique il y a quelques semaines. 
    La négation de $\forall r \in ]0,1[ \ \exists x_r \in \mathcal C \ ||ABC_r|| >1$ est bien $\boxed{\exists r_0 \in ]0,1[ \ \forall x_r \in \mathcal C \ || ABC_r || \leq 1}$.

    @gebrane merci beaucoup. 
    Supposons qu'il existe ce $r_0 \in ]0,1[$. 
    Si $\forall x \in \mathcal C \ || AB C_{r_0} x|| \leq 1$. On a donc $\boxed{ABC_{r_0} \in \mathcal K}$.
    $A \in \mathcal K$ donc $\forall x \in \R^2 \ || AB x || \leq ||Bx||$. 
    Comme $B \in SO(\R^2)$, alors $\forall x \in \R^2 \ || Bx || \leq ||x||_2$.
    Finalement $\forall x \in \R^2 \ ||ABx|| \leq ||x||_2$ donc $\boxed{AB \in \mathcal K}$.
    Par convexité de $\mathcal K$, on a $\boxed{\dfrac{1}{2} AB+ \dfrac{1}{2} ABC_{r_0} \in \mathcal K}$.
    Posons : $M=\dfrac{1}{2} AB+ \dfrac{1}{2} ABC_{r_0}= \dfrac{1}{2} AB ( E + C_{r_0} )  $.
    On a $\det M= \dfrac{1}{4} \det(A) \det(B) \det( E+C_{r_0})$ avec $\det B=1$ car $B \in SO(\R^2)$.
    Donc $\boxed{\det M=\det A \times \dfrac{1}{4} \times (2+r_0+ \dfrac{1}{r_0})}$.
    Montrons que $r_0+ \dfrac{1}{r_0} >2$.
    On a $r_0+ \dfrac{1}{r_0} >2 \iff 1+r_0 ^2>2r_0 ^2 \iff (r_0-1)^2>0$ ce qui est toujours vrai car $r_0 \ne 1$.
    On a montré que $\boxed{\det M > \det A}$, ce qui est absurde.

    @Alexique
    Oui merci en effet c'est niveau collège, je pourrais quasiment le donner à mes 3ème. 






  • Quand tu lis les preuves de bd, à lire avec attention car il aime laisser des zones d'ombres :D  ( Pour te faire travailler)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    OShine a dit :
    @bd2017. Je ne fais pas de faute de logique sur des choses aussi élémentaires. J'ai révisé la logique il y a quelques semaines. 
    La négation de $\forall r \in ]0,1[ \ \exists x_r \in \mathcal C \ ||ABC_r|| >1$ est bien $\boxed{\exists r_0 \in ]0,1[ \ \forall x_r \in \mathcal C \ || ABC_r || \leq 1}$.
    Tu confonds $x_r$, $C_r$, $C_r x$ et $C_r x_r$.
    Du coup, ta phrase n'a effectivement aucun sens logique.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    OShine a dit :
    Montrons que $r_0+ \dfrac{1}{r_0} >2$.
    On a $r_0+ \dfrac{1}{r_0} >2 \iff 1+r_0 ^2>2r_0 ^2 \iff (r_0-1)^2>0$ ce qui est toujours vrai car $r_0 \ne 1$.
    Hello !  Je préfère $M-A \geq M-G$  avec inégalité stricte ssi  les nombres sont différents.  Donc  $1/2(r +1/r) >\sqrt {r \times 1/r}=1,\ \forall r>0, \ r\neq 1. $
    ça permet d'écrire nothing.
     
  • Je lis à voix haute, avec des mots de tous les jours : peu importe la valeur de $r$, on peut trouver un élément $x_r$ qui vérifie blablabla

    Mais, dans le blablabla, $x_r$ n'apparaît pas.  
    Bizarre, très bizarre. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @JLapin ok merci.

    @bd2017 ok.

    J'ai réussi la question 16.b en 10 min. 
    16.b) Soit $0<r<1$. On a $0<r^2<1$.
    On calcule : $AB  \begin{pmatrix}           r &0 \\ 0& \frac{1}{r}    \end{pmatrix}  x_r = AB  \begin{pmatrix}   ry_r \\ \frac{1}{r} z_r   \end{pmatrix} $
    Comme $AB \in \mathcal K$, on a $\boxed{||  \begin{pmatrix}   ry_r \\ \frac{1}{r} z_r   \end{pmatrix} ||_2 \geq AB  \begin{pmatrix}           r &0 \\ 0& \frac{1}{r}    \end{pmatrix}  x_r  >1}$.
    Ce qui fournit : $r^2y_r ^2+\dfrac{1}{r^2} z_r ^2>1$. 
    Mais $x_r \in \mathcal C$ donc $\boxed{y_r^2=1-z_r^2}$.
    En combinant les deux relations, on obtient : $z_r ^2 (\dfrac{1}{r^2} -r^2) >1-r^2$.
    Comme $\dfrac{1}{r^2} -r^2 >0$, on a : $z_r ^2 > \dfrac{1-r^2}{\frac{1}{r^2}-r^2} =\dfrac{r^2-r^4}{1-r^4}=\dfrac{r^2(1-r^2)}{(1-r^2)(1+r^2)}$.
    Finalement : $\boxed{z_r ^2 > \dfrac{r^2}{1+r^2}}$. 

  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Je n'ai pas compris à quoi sert le $x=B\begin{pmatrix}           1 \\ 0    \end{pmatrix} $, je n'ai pas utilisé cette information dans la question $16$.
    Pour la question $17$, je suis incapable de produire une seule ligne, encore une question qui semble très difficile. 
    Je ne comprends pas à quoi sert la question $16$.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    On fait la question 16.  Si on n'utilise pas  ce fameux $x$  dans la question  16.  on ne l'utilise pas.
    Mais on voit bien que c'est un des 2 candidats pour la base recherchée. On pose $x=e_1.$
    L'autre candidat va venir de la question 16. C'est évident puisque l'énoncé le dit.  On a  $||A B C_r x_r||>1, \forall r \in]0,1[$
    $C_r x_r$  n'est pas dans $C$  car $C_r$ n'est pas orthogonale. Mais plus $r$ est proche de 1 plus  $C_r x_r$  est proche de $C$
    Autrement dit, on voit qu'il faut utiliser 16 avec un passage à la limite de $r$ vers 1.
    Voilà l'indication est donnée...
     
  • D'accord merci je vais essayer d'avancer avec ça. 
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Si $x=e_1$, alors $||Ax||=1$ car on a fixé $x \in \mathcal C$ tel que $||Ax||=1$. De plus, $||e_1||_2=1$.
    On a bien $\boxed{|| A e_1 || = ||e_1||_2}$.
    Pour trouver $e_2$, je n'ai pas trop compris. 
    On a $C_r x_r = \begin{pmatrix}           r y_r \\ \dfrac{1}{r} z_r      \end{pmatrix} $.
    Si on passe à la limite lorsque $r$ tend vers $1$, par continuité de la norme on obtient : $|| AB  \begin{pmatrix}           y_1 \\ \dfrac{1}{r} z_1   \end{pmatrix} || \geq 1$ mais je ne vois pas quoi faire de ça.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    D'abord $x_r=(y_r,z_r)$  est une solution de l'inéquation pour $r$ fixé. Mais ce n'est pas la seule. Donc a proprement parlé ce n'est pas une fonction de $r$. ou alors elle n'est pas définie.
    De toute façon même si la fonction  $r\mapsto x_r$ est bien définie elle  n'a aucune raison d'être une fonction continue de $r$  Donc  en particulier dire qu'il converge $(x_1,y_1)$ qui par ailleurs n'est pas définie.
    Bref rien ne te dérange dans ce que tu dis ?
    Il faut donc approcher $1$  en terme de suite. On considère donc une suite $(r_n)_{\N}$  qui converge vers $1$ et considérer  pour chaque $n\in\N$, $x_{r_n}\in C $  une solution  de l'inéquation $||AB C_{r_n} x_{r_n} ||>1$. 
    Voilà. Que  dire de la suite   $(x_{r_n}). $...? ...
     
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Oui je dis sûrement des bêtises mais le niveau de cette partie est hallucinant.
    On a $x_{r_n}=  \begin{pmatrix}          y_{r_n} \\ z_{r_n}     \end{pmatrix} $ avec $z_{r_n} ^2 > \dfrac{r_n ^2}{1+r_n ^2}$
    On a : $ y_{r_n}^2=1- z_{r_n}^2 < 1-  \dfrac{r_n ^2}{1+r_n ^2}$
    Comme :  $r_n \longrightarrow 1$, on en déduit par passage à la limite que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  y_{r_n}^2 \leq \dfrac{1}{2}$ et : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  z_{r_n}^2 \geq \dfrac{1}{2}$.
    Après je bloque.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Hum!  Franchement c'est un sujet Polytechnique Ecole Normale.
    Tu crois vraiment y arriver avec des absurdités comme tu viens de donner.
     
  • Je ne vois pas comment étudier $(x_{r_n})$.
  • Madec
    Modifié (May 2023)
    ( xrn ) est une suite de points dans un compact  C , on peut en extraire une suite convergente  xr(phi(n)) dont la limite  y est dans C
    C_rphi(n) (xr_phi(n) )  est un vecteur qui a pour limite  Id (y)=y
    on a donc les deux inégalités 
    II AB (y) II  >= 1  par passage à la limite  de l'inéquation  II AB C_r_phi(n) ( xr_phi(n))II > 1
    et par ailleurs  comme AB est un élément de K  et y élément de C on a aussi 
    II AB(y) II =< 1
    au final II AB(y) II=1
    le  vecteur By est alors  un candidat  potentiel pour être choisi comme e2 , mais il faut s'assurer que (e1, e2) est libre ...
    [Tu as la possibilité de corriger toi-même tes messages. :) AD]
  • D'accord merci beaucoup, super clair comme explication. 

    La suite $(x_{r_n})$ est une suite du compact $\mathcal C$, on peut en extraire une sous-suite convergente $(x_{r_{\phi(n)}})$ qui converge vers $y=(y_1,y_2) \in \R^2 \cap \mathcal C$.
    On a : $C_{r_{\phi(n)}} x_{r_{\phi(n)}}=\begin{pmatrix} r_{\phi(n)} y_{  r_{\phi(n)}  }  \\  \dfrac{1}{ r_{\phi(n)}}  z_{ r_{\phi(n)}} \end{pmatrix} $
    • $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} r_{\phi(n)} y_{  r_{\phi(n)}  } =y_1$ car $(r_{\phi(n)})$ est une suite extraite de $(r_n)$.
    • $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{ r_{\phi(n)}}  z_{ r_{\phi(n)}} =y_2$
    Donc : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} C_{r_{\phi(n)}} x_{r_{\phi(n)}}= y}$.

    On a $|| AB C_{r_{\phi(n)}} x_{r_{\phi(n)}} || >1$ donc par continuité de la norme et passage à la limite : $\boxed{||AB y || \geq 1}$.
    On a vu précédemment que $|| AB y || \leq 1$ car $AB \in \mathcal K$ et $y \in \mathcal C$. 
    Ainsi, $\boxed{||ABy ||=1}$.

    On sait que $(e_1,e_2)$ est libre si et seulement si $e_1$ et $e_2$ ne sont pas colinéaires.
    Mais on a pris $e_1=x=B \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix} $ et $e_2=By$

    Je bloque pour vérifier que $(e_1,e_2)$ est libre car on ne connait pas $B$. 














  • Madec
    Modifié (May 2023)
    si ( x, By )  sont des vecteurs liés , sachant que x =B (1,0) alors puisque B est inversible ,les vecteurs  (1,0) et y le sont aussi , or précédemment on a  obtenu une condition sur la  deuxième composante de  xr  , donc sur celle de y par passage à la limite , qui permet de conclure.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Ah d'accord merci. Cette question est d'un très haut niveau. 
    Si $(x,By)$ sont liés où $x=B \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix} $ alors il existe $\lambda \in \R$ tel que $By = \lambda x$ soit $By=\lambda B \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix}$.
    En appliquant $B^{-1}$ ce qui est possible car $\det B=1 \ne 0$, on obtient $\boxed{y= \lambda \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix}}$.
    Mais $x_{r_{\phi(n)}} \longrightarrow y =(y_1,y_2)$ avec $\forall n \in \N \ z_{r_{\phi(n)}}^2 > \dfrac{r_{\phi(n)}^2}{1+r_{\phi(n)}^2}$.
    Par passage à la limite, on a : $\boxed{|y_2|\geq \dfrac{1}{2}}$ ce qui contredit le fait que $y_2=0$.
    La famille $(e_1,e_2)$ construite est bien libre.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    @Madec
    Merci pour ta participation, tu enrichis le fil.
    J'ai une question.
    À la fin de la question 15, on définit un $x \in C$ tel que $||Ax||=1$, et au début de la question 16, l'auteur du sujet affirme sans le justifier qu'il existe une matrice dans le groupe spécial telle que $x=Be_1$. Pourquoi est-ce vrai ?
    @Tous
    Pour la question 18, avez-vous une idée pour la traiter à part celle de Pandou dans son corrigé ? (D'après son profil, il était inscrit à l'agrégation 2022, option B.)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • La question $18$ semble redoutable. Il n'y a pas de moment pour respirer dans cette partie, tout est très difficile. 
    @gebrane tu n'as pas d'idée pour la $18$ ? Cette question donnée sans indication est infaisable pour moi. 

  • La question 18 m'est difficile sauf si je te récite le corrigé
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Barjovrille
    Modifié (May 2023)
    Bonjour @gebrane pour ta première question tu peux montrer que $B \mapsto Be_1$ l'application qui va de l'ensemble des matrices de rotation dans la sphère unité est surjective. Ça se voit bien visuellement. 
  • @bd2017 a peut-être des indications pour la 18, il ne bloque jamais.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Pour la question (18.) une figure est indispensable pour éviter un long discours (on est en temps limité, ne l'oublions pas!) . On suppose que $a,b\in T.$  Alors $c_0=\dfrac{a+b}{\|a+b\|_2} \in T.$  
    $c_0$  partage l'arc saillant $\overset{\huge{\frown}}{ab\:}$ en deux arcs de longueur moitié $\overset{\huge{\frown}}{ac_0\:}$ et  $\overset{\huge{\frown}}{c_0b\:}.$  Ainsi, en appliquant la méthode de Dichotomie, tout $x\in C$  situé sur l'arc saillant $\overset{\huge{\frown}}{ab\:}$ est limite d'une suite d'éléments de $T.$  Puisque $T$ est fermé, il vient $\overset{\huge{\frown}}{ab\:}\subset T .$

    Mais  $d=\dfrac{b-a}{\|b-a\|_2} \in T$  et $d'=\dfrac{a-b}{\|a-b\|_2} \in T.$  Donc avec le même raisonnement que précédemment, on obtient que le
    demi-cercle   $\overset{\huge{\frown}}{dd'\:}$ (celui  qui contient $a$ et $b$) est inclus dans $T.$

    Pour finir la démonstration il reste à trouver un point $c'_0\in T$ non situé ce demi-cercle. Par exemple $c'_0=-c_0$  convient. Je vous laisse  la liberté de le démontrer. Ce n'est pas très difficile je pense.  Alors  toujours avec le même raisonnement,  on obtient que ce second demi-cercle est dans $T.$ Finalement $C\subset T.$
     Conclusion $T=C.$      

     
  • Bonjour @bisam comment as-tu attaqué la question 18? Merci
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Madec
    Modifié (May 2023)
    Pour la question 18 on peut peut-être évoquer les nombres dyadiques qui sont denses dans l'intervalle  fermé [0,1].
    Ainsi, si on forme l'application bijective  continue  f :  t --> (t ) teta0+(1-t)teta1
    de l'intervalle fermé [0,1] dans [theta0, theta1] arguments de a et b
    Alors  il me semble que les images par f  des nombres dyadiques sont des arguments d'éléments de T et par densité et compacité  on couvre tous les arguments de l'arc (ab).
    Ensuite on complète pour les arcs manquants comme indiqué par bd2017.
    [Ne pas confondre couple et intervalle ! AD]
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @Madec
    Je doute que ce résultat sur les nombres dyadiques soit au programme.
    Je ne comprends pas le rapport entre la question et les cercles, les arcs saillants. 
    Je n'ai rien compris aux solutions données. 
    Seuls les extraterrestres peuvent réussir une telle question. 
  • Oshine essaie de comprendre le corrigé puis ce que propose bd
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @Oshine j'ai fait le choix d'une rédaction courte appuyée sur la figure. C'est classique, en mathématiques, une figure aide beaucoup au raisonnement.
    Ceci étant dit, je savais tout à l'heure que, en répondant à la question, tu n'allais pas comprendre.
    Je vais te dire pourquoi: je me souviens qu'il y a un certain temps, je t'avais proposé une solution simple par rapport à d'autres, une  solution qui utilisait la petite géométrie de collège.  Il fallait savoir ajouter 2 vecteurs du plan et soustraire 2 vecteurs du plan. Sauf que tu ne savais pas le faire. Et je crois que depuis ce temps là, tu n'as toujours pas comblé tes lacunes. 
    Ici $c_0$, $d$,$d'$  sont les extrémités de somme et (ou) de différence de vecteurs, mais de plus ils sont normalisés....
    C'est normal que tu ne comprennes pas...On ne va pas te faire un cours  de collège alors que tu es certifié de math.
    On atteint le paradoxe ici dans ta  façon de faire les maths. Tu t'attaques à des sujets de Polytechnique, Normale Sup, avec des lacunes de lycée et collège. Comment peut-on s'en sortir dans ces conditions ? 

    Edit.  D'autre part, je ne vois pas d'autre solution. La seule différence c'est le formalisme utilisé.  Ce que dit @Madec a sûrement du sens mais c'est à lui de prendre le temps de donner une réponse en précisant le formalisme ...c'est-à-dire qu'il faut rédiger...  
     
  • Madec
    Modifié (May 2023)
    Oui les nombres dyadiques ne sont pas au programme probablement.
    Mais leur "forme ", une combinaison  finie de puissance de 1/2, avec pour coefficients 1 ou 0  fait penser au mode opératoire pour obtenir les points de T  par demi-somme)  sur un arc donné d'extrémités deux points de T.
    D'où l'idée de relier ces nombres par bijection aux  arguments des points de T appartenant à l'arc. 
    Je conviens que je n'ai pas formalisé plus que cela, et ne pas maîtriser Latex n'aide pas !
    Mais bon les idées principales y sont je crois.
    Après c'est très voisin de ce que propose bd2017, dichotomie etc ....
    Bon on coupe les cheveux en quatre, et même ici en toute puissance de 2  :)
  • Il n'y a plus de géométrie dans les programmes du supérieur...
    $||c_0||_2=1$ donc $c_0$ appartient à la sphère dans $\R^2$ pour la norme euclidienne qui est le cercle unité. 
    $T \subset \mathcal C$ et $a,b \in T$ donc $a,b$ appartiennent au cercle unité. 
    Mais je ne comprends pas pourquoi $c_0$ partage l'arc $\overset{\frown}{AB}$ en deux arcs de longueurs moitié $\overset{\frown}{Ac_0}$ et $\overset{\frown}{c_0B}$.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Rien ne te gêne. Tu le fais exprès ou quoi ? Je parle de géométrie de collège. Tu as enseigné la physique !
    Comme je l'ai dit, dessine d'abord le vecteur $\vec{oa}+\vec {ob} $.
     
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    D'accord c'est bon, on a la diagonale d'un losange. Il apparaît un axe de symétrie, d'où l'égalité des arcs.
    Même les épreuves de Polytechnique MP font bosser le programme de collège !
    Je cherche des ressources pour la méthode de dichotomie, je l'ai vue dans une démonstration sur les suites dans le cours de MPSI.

  • Madec
    Modifié (May 2023)
    Ce qu'évoque la dichotomie
    à chaque pas on divise chaque segment en deux segments de longueurs égales.
    Chaque extrémité des segments appartient à l'ensemble T
    au pas n les segments élémentaires ont une longueur (b-a)/ 2^n
    Par ailleurs à chaque pas les segments recouvrent le segment initial.
    Donc un point x quelconque  du segment initial est  proche  pour tout n à moins de (b-a)/ 2^n d'un point de T
    On peut donc bâtir une suite de point de T qui converge vers x
    Et si on a choisi un ensemble T fermé alors la limite est dans T.
  • J'ai relu la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires qui utilise une dichotomie mais je n'arrive pas à l'appliquer ici. 
    Je n'ai pas compris quel segment on prend au départ pour que le milieu appartienne à $T$. 
    Quel est le rapport entre les segments d'une dichotomie qu'on partage en 2 et les arcs saillants ? 
    Et on fait quoi des points $x,y \in T$ ? Quel est le lien entre $x,y$ et $a,b,c_0 \in T$ du dessin ? 
    Le milieu de $[a,b]$ n'est pas sur l'arc saillant. 
  • lourrran
    Modifié (May 2023)
    Le milieu de a,b ne nous intéresse pas, on ne calcule pas $\frac{a+b}{2}$, mais $\frac{a+b}{||a+b||_2}$ 
    Mais ça reste conceptuellement une dichotomie.

    Si tu avais passé un peu plus de 5minutes à lire la 1ère page, mais 30 minutes, tu ne serais pas là à galérer comme ça.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Ah d'accord merci c'est plus clair on ne divise pas par $2$ mais par la norme. Il faut essayer de rédiger proprement la dichotomie ici.

    En fait les problèmes de concours difficiles comme l'X utilisent toujours des démonstrations de cours mais légèrement modifiées, il faut pouvoir s'adapter et refaire la preuve. 
  • @OShine
    pour ma part , évoquant la dichotomie,  je considérais  le segment  formé par les  nombres réels  représentant les arguments des points de l'arc de cercle.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @Madec ok je viens de comprendre.

    J'essaie de faire le début de la dichotomie pour comprendre la logique. C'est un bel exercice, mais impossible à faire en temps limité. 
    J'ai calqué ma démonstration sur celle du théorème des valeurs intermédiaires mais je bloque à un moment car on ne tombe pas sur une suite géométrique comme dans le théorème des valeurs intermédiaires. 
    Soit $x \in C \cap \overset{\huge{\frown}}{ab\:}$.
    On cherche à construire une suite d'élément de $ C \cap \overset{\huge{\frown}}{ab\:}$ qui converge vers $x$.
    Notons $\alpha_0=b$ et $\beta_0=b$.
    On a :  $\alpha_1 = \begin{cases} \alpha_0 \ \text{si} \ x \in  \overset{\huge{\frown}}{\alpha_0 c_0 \:} \\    c_0 \ \text{sinon} \end{cases}$ et $\beta_1 = \begin{cases} c_0 \ \text{si} \ x \in  \overset{\huge{\frown}}{\alpha_0 c_0 \:} \\    \beta_0 \ \text{sinon} \end{cases}$ 

    Posons $\forall n \in \N \ c_n=\dfrac{\alpha_n+\beta_n}{ || \alpha_n+ \beta_n ||_2} \in T$.

    On a donc :   $\alpha_{n+1} = \begin{cases} \alpha_n \ \text{si} \ x \in  \overset{\huge{\frown}}{\alpha_n c_n \:} \\    c_n \ \text{sinon} \end{cases}$ et $\beta_{n+1} = \begin{cases} c_n \ \text{si} \ x \in  \overset{\huge{\frown}}{\alpha_n c_n \:} \\    \beta_n \ \text{sinon} \end{cases}$ 

    On calcule $\boxed{\beta_{n+1}-\beta_n=  \begin{cases} \dfrac{\alpha_n(1- ||\alpha_n+\beta_n||_2)+\beta_n}{|| \alpha_n+ \beta_b ||_2} \ \text{si} \ x \in  \overset{\huge{\frown}}{\alpha_n c_n \:} \\     \dfrac{\beta_n(1- ||\alpha_n+\beta_n||_2)+\alpha_n}{|| \alpha_n+ \beta_b ||_2}  \ \text{sinon} \end{cases}}$

    Je bloque ici.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Cela ne sert à rien d'écrire des formules compliquées pour écraser une mouche. Au bout de $n$ étapes, si le processus ne s'est pas arrêté avant, $x$ est sur un arc dont les extrémités appartiennent à $T$  et donc la longueur est $1/2^n$  fois la longueur de l'arc initial $ab $.    La distance de $x$  à l'une quelconque des 2 extrémités de ce dernier arc est inférieure à  $C/ 2^n$  et où  $C$  est une constante qu'il n'est pas utile de déterminer.   
     
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Ok merci. En fait ta preuve est excellente, en plus tu as même fait un dessin, ce qui est rare dans les corrigés. 
    En suite on prend $d$ en dehors de l'arc $\overset{\huge{\frown}}{AB\:}$. Le raisonnement est identique, on refait le même procédé sur $\overset{\huge{\frown}}{db\:}$ et $\overset{\huge{\frown}}{d'a\:}$.
    Ensuite, soit $c_0 '=-c_0$ il reste à montrer que $c_0 '  \in T$. Je ne vois pas comment le démontrer.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    J'ai dit qu'il suffit de trouver un point $c'_0$ qui soit sur le second  demi-cercle $\overset{\huge{\frown}}{d d'\:}$  (celui qui ne contient pas $c_0$, donc qui contient $-c_0$).  On peut   montrer que $c'_0=-c_0$  convient mais ce n'est pas une obligation.
    Dès qu'on à trouvé un tel candidat, le raisonnement précédent que l'on a appliqué au couple $(a,b)$ et qu'on applique maintenant au couple   $ (d, c'_0) $ puis $(c'_0,d)$  montrera que le second demi-cercle  est aussi dans $T$. Ce qui achèvera la démonstration.
    Bon revenons à notre problème qui est un exercice d'école primaire.  Que dit l'énoncé ?   On a un cercle $C$ (de centre $o$) et un ensemble $T$ de points  $C$ qui vérifie la règle suivante
    1. Si  $a,b \in T$ et $a$ et $b$ ne sont pas diamétralement opposés (i.e $a+b\neq 0$) alors le point $c_0$  milieu de l'arc saillant    $\overset{\huge{\frown}}{d d'\:}\in T.$       (c'est la traduction enfantine de $\dfrac{a+b}{||a+b||_2}\in T.$)
    2. Les 2 points $d,d'\in C, $ diamétralement  opposés  tels que $[dd'] \bot [oc_0]$   appartiennent aussi à $T.$   (c'est la traduction de $\dfrac{a-b}{||a-b||_2},\dfrac{b-a}{||b-a||_2}\in T$  et le fait que $<a+b,a-b>\,=0.$)
    3. $T$ contient aux deux points non diamétralement opposés $a$ et $b.$
    Tu poses à tes élèves la question suivante. Combien y a-t-il de points qui appartiennent à $T\ ?$ Tu verras bien leur réaction.
     
  • Madec
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 pour la formalisation de ce que je proposais.
    Cela pourrait être un exercice de niveau  Sup je pense.

    1) montrer que les nombres de la forme ( sommation finie)  x = Sigma  (ai 2^-i)   avec ai valant 0 ou 1  forment un sous ensemble   D partout dense de l'intervalle fermé [0,1]

    2) montrer que si f est bijective et bicontinue  d'un espace normée E dans F   et si X partout dense alors f(X) partout dense .

    3) soit la fonction f  de [0,1]  dans  [teta0 ,teta1]
    x---> f(x) =  x teta0 +(1-x) teta1
    montrer que f est bijective et bicontinue

    4) montrer( récurrence)  que  l'ensemble  des arguments des points T ' de T obtenu en un nombre fini de pas de construction ( par demi somme et normalisation)  à partir des points d'argument  Teta0 et Teta1  est dans l'ensemble f(D)

    5) en déduire que  l'adhérence de T' est l'arc  A0(teta0)A1(teta1)

    6)  puis conclure que l'arc A0A1 est inclus dans T lorsque T est fermé.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @bd2017
    Ok merci en effet, mais je n'avais pas remarqué que $\langle a+b,a-b \rangle=0$. Tu vois beaucoup de choses que je ne vois pas. 
    @Madec
    Pourquoi se compliquer la vie alors que la preuve de @bd2017 utilise des connaissances de collège ?
  • Pour le plaisir de chercher et trouver soi-même une solution. Mais rassure toi, le message de Madec ne t'es pas destiné.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @JLapin
    Oui sa solution est trop technique pour moi. Mais d'autres personnes plus compétentes pourront la comprendre.
    Je bloque sur la question $19$. 
    Je ne vois pas le lien avec ce qui précède.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)

     Cela revient essentiellement à démontrer le lemme suivant

    Soit un arc d'un cercle d'angle plus petit que 180° délimité par deux points $A$ et $B$. Soit $T$ une partie de la sphère unité  contenant $A$ et $B$, Supposons que pour chaque paire de points $M, M'$  de $T$, $T$ contient le point milieu de $M$ et $M'$. Montrons que  $T$ contient  l'arc $\overset{\huge{\frown}}{AB}$.

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Madec
    Modifié (May 2023)
    @OShine

    Avec les vecteurs e1 et e2 considérés précédemment , essayer de construire un ensemble vérifiant les propriétés de T
    On aura ainsi pour tout X de C  II A(X) II = II XII_2   et on n'est plus très loin du but ...

    Je précise un peu
    on considère l'ensemble  E des vecteurs de C qui vérifient II A(X)II= II XII_2
    cet ensemble est non vide (il contient e1 et e2)
    On montre qu'il est fermé 
    On montre qu'il vérifie les deux autres propriétés ( sur la somme et la différence de 2 éléments de E )
    On peut alors en conclure que E = C  d'après la question précédente 18 . 
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