Polytechnique maths A MP 2023

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Réponses

  • Non, c'est toi qui n'a pas le niveau.
  • Pour la 15 , cherche une matrice B dans K telle que det(B)>0 et tu gagnes
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Voici encore le fameux  corrigé qui explique mal (d'après @Os)!  la question 15.a
    c13.jpg 28.9K
     
  • Il y a un "donc" à la place d'un "dont". C'est effectivement très difficilement compréhensible.
  • Le corrigé utilise $I_n$ c'est incompréhensible!
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pas de panique, @Os est là. Il  va nous sortir la rédaction parfaite avec encadrement aléatoire... Et la phrase finale "On a montré que". 
     
  • Gebrane : Oshine  a fait des efforts et a appris beaucoup de choses
    OShine a dit :
    Je n'ai pas compris le passage : $ ||A x_0 || -||(B- A) x_0 ||\geq ||A x_0|| - \epsilon ||x_0|| $.
    Ben là, ce qu'il demande revient à savoir pourquoi $||B-A||\leq \epsilon$ et vu la définition de $B$, il n'y a rien à dire. Il faut juste savoir lire et être attentif et arrêter de tout attendre sur un plateau.

    Donc non, la qualité des discussions qu'on peut avoir avec OS ne sont pas celles qu'on peut attendre de quelqu'un qui veut attaquer sérieusement un sujet X-ENS donc ce sujet n'est pas adapté à ses capacités, c'est tout. S'il fait des efforts et qu'il apprend, ça fait 5 ans qu'il ne montre pas et qu'il ne progresse pas. Vous pouvez avoir des discussions intéressantes sur ce sujet entre vous, mais dire qu'OS en bénéficie pour la suite, qu'il pourra réinvestir le travail..., ça, c'est non. Je pense toujours qu'on peut le mettre en défaut facilement sur des questions de collège/lycée et qu'il lui manque une tonne de choses plus essentielles et plus élémentaires avant de s'attaquer à de tels sujets. Donc arrêtons de l'encourager et de le féliciter dans sa médiocrité. Tout seul en temps limité dans 1 mois devant un sujet moins dur et il se fera encore rétamer. On ne rend pas service aux gens en les caressant dans le sens du poil au nom d'une idéologie "bienveillante" qui font que le brevet, le BAC, le CRPE, les examens dans beaucoup de facs, le CAPES, et déjà un peu l'agreg et tant d'autres concours se cassent la figure depuis plusieurs années maintenant en France. Vous devriez l'encourager à lire des cours, à apprendre son cours, à faire des exos de TD ensuite (à difficultés croissantes), puis à faire des DM puis des DS puis des sujets de concours comme n'importe quelle personne voulant progresser le ferait. Et en plus, il a le culot de critiquer les corrigés destinés à des gens sérieux qui passent ce concours, n'ayant pas compris qu'il n'est pas la cible de ces corrigés. Et on lui REFORMULE le corrigé avec plus de détails et ce n'est encore pas suffisant pour lui, on marche sur la tête ! Il est incompétent, fainéant et ingrat et vous trouvez encore le moyen de le défendre, sérieusement ??? 

    S'il tentait des choses conformes à ses capacités, je tiendrais bien sûr un tout autre discours et au plaisir de l'aider sur des CCP, des sujets de kangourou, des épreuves de maths d'inspecteur des impôts ou que sais-je et qu'il était proactif dans sa démarche, là, ce n'est pas le cas. Donc faites les choses pour vous, mais pas pour lui, et je suis sûr que vous pouvez trouver plus intéressant à faire dans vos vies respectives que de l'aider (à commencer par aider tous les autres gens de ce forum).
  • J'enlèverais le mot 'fainéant' de ce commentaire. Mais en dehors de cette remarque, je suis totalement aligné avec Alexique.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • C'est gebrane qui a "provoqué" OShine et l'a lancé sur ce sujet X-ENS. S'il faisait des efforts de recherche, ça pourrait être bénéfique même si ce n'est pas de son niveau. 
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @Alexique a tout à fait raison. Le problème c'est qu'@Os ne suit pas les conseils qu'@Alexique et aussi beaucoup d'entre nous   donnons.
    Le seul travail (contre productif) qu'@Os fait, c'est chercher à comprendre un corrigé. Mais le résultat est nul. C'est certain.
    S'il  apporte de temps en temps une solution à une question, et où on pourrait croire qu'il progresse, soyez certain qu'en cherchant sur le net,  vous trouverez ce qu'il aura recopié. Et parfois même mal recopié. Comme ici pour montrer que $K$ est fermé. 
    Je crois qu'on tourne en rond à toujours répéter la même chose.
    Personnellement, le seul intérêt que je trouve à poster ici,  c'est de faire un petit peu à la fois, des questions qui m'intéressent et que je ne ferai pas seul. Sans corrigé S-V-P, même si maintenant j'en ai trouvé un malgré moi, pour montrer la supercherie du recopiage.
     
  • C'était mieux quand le corrigé n'était pas disponible. 

    $||B-A|| \leq \varepsilon$ mais on ne sait rien sur $||(B-A) x_0||$.
  • Tu vois, le problème c'est que tu lis $\|B - A\| \leq \varepsilon$ mais tu ne te demandes pas ce que signfie $\|B - A\|$. Du coup, effectivement tu ne peux pas comprendre le corrigé que tu lis. Je persiste à dire que ça n'a rien à voir avec ton niveau OShine. C'est une question d'effort.
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    @OShine
    Quelqu'un t'a prévenu que le programme de la filière MP a changé depuis cette année ?
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Comment vous traitez la question 15 sur l'existence d'un x de C tel que ||Ax||=1 ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Comme dans le corrigé.
  • Merci pour cette reponse
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    OShine a dit :
    C'était mieux quand le corrigé n'était pas disponible.
    Tu ne serais pas un peu allumé en sortant une telle remarque ?
    Le corrigé ne t'est pas  venu seul sans le chercher. Pour voir où tu avais copié tes réponses j'ai dû faire pas mal d'efforts pour le trouver. 
    Maintenant j'estime que le sujet est terminé. Il n'y a plus aucun intérêt à poster.  
     
  • @Bibix
    Je n'ai pas bien compris quelle norme on utilise pour montrer qu'il existe une boule ouverte incluse dans le complémentaire de $\mathcal K$.

    Donc je bloque toujours sur le $-||(B-A) x_0|| \leq - \varepsilon ||x_0||$.

    @JLapin
    Oui d'ailleurs je compte commander un livre tout en un de MP/MP* pour étudier entièrement le cours de MP.
    J'en ai vu un qui me semble très bien de l'édition Vuibert. 

  • Et bien attends de recevoir le livre, travaille les chapitres sur les evn et tu pourras revenir à cette question.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @bd2017
    On m'a envoyé le corrigé en MP lorsque j'ai dit que je bloquais sur le question 13.a, je ne l'ai pas cherché du tout.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    OShine a dit :
    Donc je bloque toujours sur le $-||(B-A) x_0|| \leq - \varepsilon ||x_0||$.
    Tout le monde bloque sur cette inégalité. Pour  rappel  $|||B-A|||\leq \epsilon $  et $||| \cdot  |||$  est la norme matricielle subordonnée  à la norme $|| \cdot  ||$.
     
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Ils ne veulent pas t'expliquer que tu veux démontrer le mauvais sens.
    Tu as $B\in (A,\epsilon)$ donc $|||B-A|||< \epsilon$ cela donne pour tout x non nul  de $\R²$, $\frac{|| (B-A)x||}{||x||}< \epsilon$.
    En particulier $||(B-A)x_0||<\epsilon ||x_0||$ d'où $-||(B-A)x_0||>-\epsilon ||x_0||$.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @bd2017
    Merci.
    @gebrane
    Merci.
    Je vois que la norme subordonnée est très utilisée dans les exercices et problèmes.

    15) Les normes $||.||$ et $||.||_2$ sont équivalentes donc il existe $a,b >0$ tel que $\forall x \in \R^2, \ a ||x||_2 \leq ||x|| \leq b ||x||_2$.
    On cherche $B \in \mathcal K$ tel que $\det B>0$.
    Posons : $B= \dfrac{1}{b} E$. On a bien $\det B = \dfrac{1}{b^2} >0$.
    Montrons que $B \in \mathcal K$. Soit $x \in \R^2$. On a $|| Bx|| = || \dfrac{1}{b} Ex || = \dfrac{1}{b} ||x|| \leq ||x||_2$.
    Ainsi $\boxed{B \in \mathcal K}$.
    De plus, $\det A=\sup_{ M \in \mathcal K} \det M \geq \det B$ par définition de la borne supérieure.
    Finalement : $\boxed{\det A >0}$. 
    La deuxième partie de la question semble plus dure.
  • Oui il me semble que la suite de la 15 n'est pas simple ( je ne fais pas comme Jlapin en consultant un corrigé) Je pensais à attaquer la question par l'absurde. D'abord si $x\in C$, puisque $A\in K$ alors $||Ax||\leq ||x||_2= 1$ donc si on raisonne par l'absurde: on suppose que $\forall x\in C,\quad ||Ax||<1$ ce qui implique pour tout y non nul de $\R^2$
    $||A(\frac y{||y||_2})||<1$ d'où $||Ay||<||y||_2$ Il faut encore travailler pour espérer peut-être  une contradiction
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Un corrigé est disponible sur CPGE Paradise, tu es libre OShine tu peux arrêter de poser mille questions sur les mêmes choses et apprendre la correction.

    Et non, ce sujet qui est le plus dur de cette année n'a rien d'éducatif pour quelqu'un qui a le niveau d'OShine, tu donnes pas un Maths D à quelqu'un qui à tout juste le niveau CCINP
  • OShine a dit :
    Je n'y comprends rien à ce corrigé. Il explique mal. 
    Non mais l'énorme blague 
  • LoanSupOp comment tu as traité la suite de la 15. On s'en fou du corrigé
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane merci, j'ai tenté mais je ne trouve pas de contradiction. Je ne sais plus quoi faire à partir de l'inégalité obtenue. 
    Si $x \in \mathcal C$ tel que $||Ax||=1$, comme $A \in \mathcal K$ alors $||Ax|| \leq 1$.
    Par l'absurde, si $\forall x \in \mathcal C \ ||Ax|| <1$.
    Soit $y \in \R^2 \backslash \{0,0 \}$. On a $\dfrac{y}{||y||_2} \in \mathcal C$.
    Donc $|| A (\dfrac{y}{||y||_2} ) || <1$ soit $||Ay|| < ||y||_2$.
    Mais l'équivalence des normes en dimension finie citée plus haut nous fournit : $||y||_2 \leq \dfrac{||y||}{a}$.
    On obtient alors : $ ||Ay|| < \dfrac{||y||}{a}$.
    Je n'ai pas d'idée pour continuer.
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @LoanSupOp
    Je n'ai jamais compris un seul corrigé du site UPS, je suis sérieux, même les corrigés CCINP.
    Les seuls corrigés que je comprends à 95% sont ceux de doc solus, car ils sont rédigés avec soin et très détaillés. 
    Mais doc solus ne publiera les corrigés qu'en 2024. 
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Je ne sais pas non plus (ceux qui regardent le corrigé peuvent rigoler, on s'en fout). Cette question utilise une subtilité que je ne vois pas et il faut vraiment se concentrer, ce que je ne peux pas faire (j'ai mieux à faire). D'après la question précédente, on sait que $A$ est inversible, mais je ne sais pas comment l'utiliser. Cette question demande beaucoup de temps et d'efforts, donc pendant le concours, il peut être judicieux de la sauter pour mieux gérer son temps. Mais pas ici  :D
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • LoanSupOp
    Modifié (May 2023)
    OShine a dit :
    @LoanSupOp. Je n'ai jamais compris un seul corrigé du site UPS, je suis sérieux, même les corrigés CCINP.
    Les seuls corrigés que je comprends à 95% sont ceux de doc solus, car ils sont rédigés avec soin et très détaillés. 
    Mais doc solus ne publiera les corrigés qu'en 2024. 
    Tu payes 100€ par an pour des corrigés de concours que tu ne passes pas 🤨
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    Je reprends la question 15 (car je l'ai déjà faite il y a quelque jours). Bien entendu sans utiliser le corrigé. Ce n'est pas avec un corrigé qu'on avance !
    On essaie le raisonnement par l'absurde, (pour moi c'est un réflexe). 
    Pour tout  $x\in C,$  on a donc  $||A x|| <1.$      Alors avec cela qu'est qu'est-ce qu'on fait.  $C$ c'est quoi ?  un fermé, un borné, on est  en dimension finie. $C$ est un compact.
    Que dire de l'application qui à $x\in C \mapsto ||A x||\ ?$  Elle est continue.  Donc elle est bornée (rien de nouveau) mais elle atteint ses bornes. C'est-à-dire qu'il existe $k$  tel que $\forall x \in C,\ ||Ax||\leq k< 1.$ 
    Pour finir, on considère un $\lambda> 1$  tel que $\lambda  k < 1.$  Et on voit que $\lambda A\in K $, avec $\det (\lambda A) > \det (A)$ ...
    d'où la contradiction.
    Bref rien de difficile.     
    Edit Gebrane je ne crois pas que @Jlapin a besoin d'un corrigé.  Il s'agit de dire qu'on en a marre du comportement d'@Os.   
     
  • Bien vu, il ne fallait pas oublier que $\det(A)$ est le sup des $\det(B)$ pour les $B$ dans $K$.
    Celui qui a posé la question est moi-même et non pas Oshine , et je trouve la réponse de Jlapin non-convenue.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Tu prends vite la mouche. J'ai simplement dit que je traite cette question comme fait le corrigé.  Libre à toi de ne pas le consulter et tu ne m'as pas demandé des questions intermédiaires pour t'approcher de la solution.
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Oshine
    Il paraît que toi et moi sommes les seuls à ne pas avoir eu l'idée de compléter le raisonnement par l'absurde en construisant une matrice B à partir de A, telle que B appartient à K et det(B) > det(A).
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • J'ai analysé la preuve de @bd2017 même si ici j'ai légèrement modifié car je préfère prendre $\lambda=1/k$. 
    Mais je bute sur $\lambda A \in \mathcal K$. Je voulais utiliser que $\mathcal K$ est convexe mais $\lambda$ n'appartient pas à $[0,1]$....
    Par l'absurde, si $\forall x \in \mathcal C \ ||Ax|| <1$. 
    L'application $x \mapsto ||Ax||$ est continue sur le compact $\mathcal C$, elle est bornée et atteint ses bornes.
    Il existe $k \in \R$ tel que $\forall x \in \mathcal C \ ||Ax||=k <1$.
    Soit $\lambda = \dfrac{1}{k} >1$. Montrons que $\lambda A \in \mathcal K$.
    D'après Q14.a, $\mathcal K$ est une partie convexe donc ....
    Ensuite $\det (\lambda A)= \lambda^2 \det A > \det A$ car $\lambda^2 >1$. 
    Ce qui est absurde car $\det A= \sup_{M \in \mathcal K} \det M$.

  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Tu bloques sur le truc le plus simple, tu as compris que $\forall x \in C,\ ||Ax||\leq k.$ donc
    $\forall x \in \R^2$ non nul, $\ ||A\frac x{||x||}||\leq k$ d'où $\forall x \in \R^2$ non nul, $\ ||\lambda A\frac x{||x||_2}||\leq \lambda k< 1$, c'est-à-dire  $\|\lambda Ax\|\leq \|x\|_2$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Merci ! Quand on voit la solution de @bd2017, ça ne semble pas trop dur, mais il fallait y penser...
    Je vais tenter la question $16$. 
  • Je ne sais pas si la question 16.a est difficile mais je ne trouve rien. 
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    J'ai toujours des difficultés à comprendre qu'on ne trouve rien. Pour moi,  sécher sur une question, cela   veut dire que je n'arrive pas au bout d'un raisonnement. Cela peut arriver...  mais dire qu'on ne trouve rien c'est qu'on a rien essayé.  On doit toujours amorcer un raisonnement.
    Ici,  Je commence un raisonnement par l'absurde... Par l'absurde cela veut dire que  $ABC_r\in K .$  Mais  $AB\in K$ Mais K est convexe....
    blabla.. on avance et on voit bien si on y arrive.   
    Je note  $C_r$  la matrice $C_r = \begin{pmatrix}1/r & 0  \\0  & r\end{pmatrix}.$
    La matrice  $AB \in K$   et si on raisonne par l'absurde on a $ABC_r \in K.$
    On en déduit  $1/2 AB + 1/2 ABC_r \in K$  ($K$ est convexe).
    On a $$\det( 1/2 AB + 1/2 ABC_r )=\det(AB) \det (1/2 E + 1/2 C_r)>\det (AB). $$
    En effet,  $(1/2 E + 1/2 C_r)$ étant diagonale son déterminant est facile à calculer:   
     $$\det (1/2 E + 1/2 C_r)= 1/2 +1/4 (r+1/r) >1 ,\quad \forall r\in]0,1[.$$
     On voit la contradiction. 
    Terminé. Aucune difficulté.
     
  • La question est abrupte, il faut trouver comment démarrer. Si on ne trouve pas, comment avancer d'un poil ?
    Je peux rester 2 heures à chercher cette question, vu que je n'ai pas d'idée de comment faire, je garderai une feuille blanche. 
    Je n'ai pas compris où est le raisonnement par l'absurde. Comme tu n'utilises pas de quantificateur je ne comprends pas. 

    Si on raisonne par l'absurde, on suppose que : $\exists r \in ]0,1[ \ \forall x \in \mathcal C \ ||AB C_r  ||  \leq 1$.

    Je n'ai pas compris d'où sort le $AB \in \mathcal K$. 
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Si on t'explique, tu vas dire "Quand on voit la solution de @bd2017, ça ne semble pas trop dur".
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Mais à part la question 14 proche du cours, je pense que cette partie est très difficile, je ne vois aucune question abordable ou facile.
    Quand je lis les questions, tout me semble très dur. 
    J'aurais rendu copie blanche sur cette partie à un examen.

  • Sur un autre sujet, tu reprochais hier à un enseignant de développer l'intuition au détriment de la rigueur. Encore un délire de plus, mais passons.
    Certes la rigueur est importante, si on veut devenir prof de maths en collège. 
    Mais dès qu'on sort de cette profession, on peut avoir toute la rigueur du monde, si on n'a pas en plus un minimum d'intuition, on rend feuille blanche.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @Os comment veux tu t'en sortir? Tu raisonnes de travers. 
    On prend  $r\in]0,1[$  fixé.
    Il faut démontrer qu'il existe $x\in C$  tel que  $||AB C_r x ||>1. $
    La négation de ce qu'il faut démontrer c'est :  $\forall x\in C$  tel que $ ||AB C_r  x ||\leq 1$. Autrement dit $ABC_r\in K.$ 
    Toi tu écris ceci .
    OShine a dit :
    Si on raisonne par l'absurde, on suppose que : $\exists r \in ]0,1[ \ \forall x \in \mathcal C \ ||AB C_r  ||  \leq 1$.
    Je n'ai pas compris d'où sort le $AB \in \mathcal K$. 
    Ta première ligne est une faute logique. comment peut tu avancer?
    Ensuite  tu ne comprends d'où sort le $AB \in \mathcal K.$  C'est à dire qu'il faut tout te mâcher.  Refus du moindre effort ou quoi? C'est pour cela qu'on t'a répété 1000 fois de revenir aux bases, refaire les petits exercices avant d'aborder des problèmes où les détails ne sont plus à justifier car devenus évidents. 
    Il faut démontrer que $AB \in \mathcal K$.  C'est quoi $B?$  On sait que $A\in K.$  Que veut dire que $AB\in K?$  Si tu ne sais pas faire ce petit exercice dans l'exercice, laisse tout tomber. Sinon,  c'est que, encore une fois, tu n'as pas fait l'effort. 
     
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Pour $AB$ dans $K,$ utilisez le fait que $B$ est une matrice orthogonale de $\R^2$, donc elle conserve la norme euclidienne.
    En ce qui concerne votre question sur le raisonnement par l'absurde, bd a sa propre façon de rédiger. Supposons qu'il existe $r_0 \in ]0,1[$ tel que $\forall x\in C$, $\ ||ABC_{r_0}x||\leq 1$. Nous avons vu que ceci implique que $ABC_{r_0} \in K$. La question 16 utilise la même idée que la question 15 : chercher une matrice $D$ dans $K$ telle que $\det(D)>\det(A)$. Vous avez seulement deux matrices dans $K$ à rappeler : $AB$ et $ABC_{r_0}$, mais malheureusement pour ces deux matrices, leur déterminant coïncide avec $\det(A)$ (on veut $>\det(A)$). C'est pour cela qu'il faut penser à utiliser la convexité de $K$. Nous cherchons donc $y\in ]0,1[$ pour que $D_y=yAB+(1-y)ABC_{r_0}$ ait un déterminant $>\det(A)$.
    Le corrigé (que j'ai vu pour voir comment il traite les questions 15 et 16, je constate également par l'absurde). bd prend $y=\frac{1}{2}$ et cela fonctionne. Le corrigé prend $y=r_0$ et cela fonctionne également.
    Normalement si on a l'idée de la 15 on fera de même pour la 16.
    [En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. Merci. ;-) AD]
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Madec
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    une petite question concernant la 26 ième de cet intéressant problème.
    En regardant le corrigé (évoqué dans ce fil) quelque chose ne me semble pas clair.
    À partir de x  quelconque dans A,  il est  construit  une base orthonormée  ( 1 , y) dans le plan  V =  1 R + x R
    et la brutalement le corrigé  s'intéresse au produit scalaire < y^2 , 1>  pour montrer que y^2= -1
    et en suivant montrer que x^2 est dans V, donc A algébrique etc ...
    J'ai l'impression que c'est abusif (ou trop elliptique !) car  d'après les questions précédentes la norme dérive d'un produit scalaire sur V  effectivement  , mais à ce stade on ne sait si y^2 est dans V.
    Un truc doit m'échapper i
    Merci à ceux qui voudront bien m'éclairer.
  • @Madec  Bonjour
    Ça ne peut pas attendre ? :D
    Oshine est à la 17
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Alexique
    Modifié (May 2023)
    bd2017 :  $$\det (1/2 E + 1/2 C_r)= 1/2 +1/4 (r+1/r) >1 ,\quad \forall r\in]0,1[.$$
    @OShine : il semble que @bd2017 utilise l'inégalité $r+\frac{1}{r}>2$. Tu saurais la démontrer sans étude de fonction comme un collégien ?
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    @Madec
    Je pense effectivement qu'il manque quelques détails dans cette réponse à la question 26.
    Si on reprend les notations du corrigé, on peut raisonner par l'absurde et supposer que $y^2\notin \R$.
    Dans ce cas, on peut encore appliquer la question précédente et $(a,b)\mapsto \dfrac{1}{2}(\|a+b\|^2-\|a\|^2-\|b\|^2)$ permet de définir un produit scalaire sur $V' = \R+\R y^2$.
    La relation $\|y^2-1\|^2 = 4$ donne alors $(y^2|1) = - 1$ puis $\|y^2+1\|^2=0$, ce qui est absurde et montre que $y^2\in V$.
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