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Polytechnique maths A MP 2023

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Réponses

  • Modifié (April 2023)
    ok, j’étais induit en erreur par la phrase  la fonction  définie sur [0,1].
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    J'ai enfin réussi la $3.b$.

    La question $4$ est facile pour @bd2017 , pour moi elle va demander du travail. Ce n'est pas une question infaisable, mais assez dure pour mon niveau.

    3.b) 
    Montrons que $\{ U \in \mathbf{H} \ | \ U^2 \in ]-\infty,0] E \} \subset \mathbf{H}^{im}$.

    Soit $U \in \{ U \in \mathbf{H} \ | \ U^2 \in ]-\infty,0] E \}$. Comme $U \in  \mathbf{H}$, il existe $x,y,z,t \in \R$ tels que $U=xE+yI +zJ +tK$ et il existe $\lambda \in ]-\infty,0]$ tel que $U^2= \lambda E$.
    Montrons que $x=0$. 
    On a $\boxed{U^2=(x^2-y^2-z^2-t^2)E+ 2xy I+ 2xy J +2 tx K = \lambda E}$.
    Par unicité de l'écriture dans une base, on obtient : $xy=xz=tx=0$ et $x^2-y^2-z^2- t^2=\lambda$.
    Par l'absurde, si $x \ne 0$ alors  $y=z=t=0$.
    Ce qui fournit : $x^2 = \lambda$. Mais comme $x \ne 0$, on en déduit que $\lambda >0$, ce qui est absurde. 

    On a montré :  $\boxed{\{ U \in \mathbf{H} \ | \ U^2 \in ]-\infty,0] E \} \subset \mathbf{H}^{im}}$.

  • Modifié (April 2023)
    Oshine il faut démontrer que x nul et non pas t
    Une autre idée pour démontrer la connexité de la sphère
    si deux points x et y appartiennent à une sphère, ils appartiennent également à un plan P. Ensuite, l'intersection de ce plan P avec la sphère S forme un cercle, noté $P\cap S$. Puisque le cercle $P\cap S$ est entièrement contenu dans la sphère S, les points x et y peuvent être connectés dans ce cercle. En conséquence, x et y sont également connectés dans la sphère S.
    Le 😄 Farceur


  • @Gebrane on  est en dimension 4 et non en dimension 3.   
     
  • @gebrane, il y a plus simple pour montrer que la sphère est connexe par arcs !
  • Merci @gebrane j'ai réussi la 3.b j'ai rectifié mon erreur, mais comme je suis nul en géométrie je vais tenter la méthode de @bd2017 avec la connexité par arcs, en plus c'est une notion que j'ai étudiée en profondeur, même si j'ai un peu oublié car ça ne tombe pas souvent dans les exos et sujets.
  • Modifié (April 2023)
    bd L'intersection d'une sphère de dimension 4 et d'un plan (ayant deux points en commun) ne peut donner qu'un cercle en 2 dimensions.
    Je fais appel @GaBuZoMeu
    Le 😄 Farceur


  • Pourquoi parler de sphère alors qu'on ne sait pas si $N$ est une norme ? 

    Je connais la définition d'une sphère avec la notion de distance, or ici je ne vois pas de distance. $N$ est une application donnée par l'énoncé. 


  • Modifié (April 2023)
    Mais si tu t'autorises à utiliser le 1er théorème de Gebrane (l'intersection d'une sphère en dim n et d'un plan donne un cercle), alors tu peux aussi t'autoriser à utiliser le 2ème théorème de Gebrane, qui dit directement que S est une partie connexe. Ces 2 théorèmes sont corrects, mais ils sont hors-programme.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (April 2023)
    Oshine
    Oublie ma méthode  (j'ai raisonné par isometrie). fixe toi sur la méthode de bd.
    Julia peux-tu nous parler de ta méthode si elle est différente de celle de bd.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    @gebrane : prends $x$ et $y$ dans ta sphère $S$ et considère l'application $f$ de $I=[0:\pi/2]$ dans $S$ définie par $f(t)=\cos(t)x+\sin(t)y$.
  • Modifié (April 2023)
    @troiscas oui, c'est une autre équation du même arc (ou de l'autre arc, celui qui forme un cercle).  C'est plus direct.
    En fait ce que propose @Gebrane c'est pareil mais il est bien de donner une équation de l'arc.
     
  • Modifié (April 2023)
    excellent troiscas
    Qui dit qu'on n'apprend pas dans les fils de Oshine ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    Je fais  la question 5.a sinon on a en  pour 2 jours minimum.
    5.a  
    D'après   l'identité remarquable $U V + V U = (U+V)^2 - U^2 - V^2$  et le fait que $U,V,U+V \in H ^{im},$
     on  a  $U V + V U=[ - N(U+V)+ N(U) + N(V)] E.$   
    D'où $U V + V U=0$  ssi    $N(U+V)= N(U) + N(V))$  ssi  $<U,V>=0$
    Dans ce cas  $(UV)^2= U V U V =-U^ 2 V^2 =- N(U) E  N(V) E = - N(UV) E.$ Donc $UV \in H^{im}.$
    E'tant données les relations vérifiées par $ E, I,J, K$ et données dans le préambule, on vérifie que si  $(y_u,z_u,t_u)$ et $(y_v,z_v,t_v)$ sont les coordonnées  respectives de $U$  et $V$ dans la base $(I,J,K)$  alors les coordonnées de
    $U.V$  sont  $(y_u,z_u,t_u)\wedge (y_v,z_v,t_v).$  
    Le déterminant dans cette base est donc : $$ \det(U,V,UV)=   [(y_u,z_u,t_u)\wedge (y_v,z_v,t_v)]^2. $$    (carré scalaire bien entendu)
    Il est donc positif ou nul et on sait quand il est nul.

    5.B conséquence directe de 5.a.
     
  • @gebrane, ma méthode pour 4. est celle de bd : on parcourt le segment entre $U$ et $V$ et on projette sur la sphère par projection centrale de centre $O$.
    Sauf qu'il y a un problème quand $U$ et $V$ sont opposés sur la sphère, alors on passe par un autre point $W$ sur la sphère, par exemple en $t=1/2$ et en arrangeant la formule.
  • Bonjour . La partie 3 n'est pas facile, surtout les dernières questions ...
  • Modifié (April 2023)
    Bd2017 pourquoi tu es pressé ? :D
    Pour faire durer le plaisir 1 questions
    @troisqua peux tu expliquer à tes lecteurs pourquoi  $f(t)\in S$ pour tout $t\in [0,\frac {\pi}2$]
    edit ok tu supposes que x et y orthogonaux ci-dessous .
    Le 😄 Farceur


  • Je ne comprends plus rien à vos messages. 

    Je ne comprends pas pourquoi $S=\{ U \in \mathbf{H} \ | \ N(U)=1 \}$ est une sphère. On n'a pas montré que $N$ est une distance.

    Je ne vois pas comment montrer que $S$ est fermé. $S$ est l'image réciproque du fermé $\{1 \}$ par l'application $U : \mathbf{H} \longrightarrow \R$ définie par $U \mapsto N(U)$ mais je ne vois pas pourquoi $N$ serait continue. 


  • Modifié (April 2023)
    Oshine ne t’inquiète pas     LoanSupOp  va t'expliquer vu son message
     edit pas besoin bisam a expliqué ci-dessous
     
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane : dans mon commentaire j'ai sous-entendu $x$ et $y$ orthogonaux mais ne l'ai pas écrit (désolé), et ce cas tu peux toujours t'y ramener en prenant $z$ unitaire dans $\{x,y\}^\perp$ et en reliant $x$ à $z$ et $z$ à $y$.
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour, @OShine , dans un de tes messages précédents tu as cité une partie de l'énoncé qui parle d'un produit scalaire sur $\mathbb{H}$. Il faut te concentrer sur cette remarque car elle répond à toutes tes questions.
  • Modifié (April 2023)
    @Oshine : $N$ n'est pas une norme, mais $Z\mapsto \sqrt{N(Z)}$ en est une puisque c'est la norme euclidienne associée au produit scalaire que l'on vient de construire. Tout le monde a simplement remarqué qu'écrire $N(U)=1$ ou bien $\sqrt{N(U)}=1$ ou bien si $U$ a pour coordonnées $(x,y,z,t)$ dans la base $(E,I,J,K)$ écrire $x^2+y^2+z^2+t^2=1$, c'est la même chose.
    En particulier, cela prouve également que $N$ est continue, d'ailleurs.
    Il faut prendre l'habitude de visualiser les choses en utilisant les isomorphismes que l'on te donne. Ici, il faut voir la structure euclidienne de $\mathbb{H}$ comme la structure euclidienne canonique de $\R^4$.
  • Modifié (April 2023)
    @bisam
    Merci beaucoup je n'avais pas vu que cela provient de l'identité de polarisation. 
    Si $E$ est un espace préhilbertien, on a $\forall x,y \in E \ \langle x,y \rangle =\dfrac{||  x+y||^2-|| x||^2-|| y||^2}{2}$. 

    Donc $Z \mapsto \sqrt{N(Z)}$ est la norme euclidienne associée au produit scalaire.

    On a donc $S=\{ (x,y,z,t) \in \R^4 \ | \ x^2+y^2+z^2+t^2 =1 \}$.

    4) $S$ est l'image réciproque du fermé $\{1\}$ par l'application continue $f : \R^4 \longrightarrow \R$ définie par $f((x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2$.
    En effet, $f$ est une application ou fonction polynomiale définie sur un espace vectoriel normé $\R^4$ de dimension finie à valeurs dans le corps $\R$.
    On a montré que $S$ est un fermé. 

    Maintenant je peux me concentrer sur la connexité par arcs. 



  • Modifié (April 2023)
    @gebrane, bonne question. On a pour $U, V \in S, (1-t)U+tV=O \Leftrightarrow t=1/2$ et $U+V=O$ (en effet, car alors $V=-((1-t)/t) U$, et en passant à la norme $t=1/2$ et $U=-V$, et réciproquement).
    Alors en supposant $(1-t)U+tV=O$, si $\exists t \in [0,1]$ et $W \in S, (1-t)U+tW=O$, on a $t=1/2$ et $W=-U=V$. Il suffit donc de choisir pour $W$ un point de la sphère différent de $U$ et de $V$.
  • Modifié (April 2023)
    Julia Bien vu
    J'ai effacé la question avant que tu donnes ta réponse. J'avais peur de faire perdre Oshine avec mes questions.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    La question $4$ semble être la première question difficile du sujet. 

    @Julia Paule
    Merci tu m'as aidé. Je bloquais sur ce passage. Mais pourquoi se compliquer la vie à prendre des matrices alors que @bisam a dit qu'on avait un isomorphisme avec la structure euclidienne canonique de $\R^4$ ? 

    Connexité par arcs : 
    Soit $u,v \in S$. Je considère $u$ et $v$ comme des vecteurs de $\R^4$. 
    Soit $\lambda \in [0,1]$.
    Supposons $u \ne -v$. On a :  $\boxed{u \ne -v \iff (1-\lambda)u + \lambda v \ne 0}$. 
    Soit $\gamma : [0,1] \longrightarrow \R^{4}$ tel que $\gamma( \lambda)=\dfrac{(1-\lambda)u + \lambda v}{ || (1-\lambda)u + \lambda v ||}$ où $||.||$ est la norme euclidienne canonique de $\R^4$. 

    Notons $g : [0,1] \longrightarrow \R^{4}$ tel que $g(\lambda)=(1-\lambda)u + \lambda v$. Montrons que $g$ est continue.
    Soit $\lambda,\lambda' \in [0,1]$. On a $|| g(\lambda) -g(\lambda ') ||= || u- \lambda u + \lambda v -u+\lambda 'u -\lambda' v ||$.
    Donc $|| g(\lambda) -g(\lambda ') ||=  || (v-u) ( \lambda - \lambda') || =  ||v-u|| \times| \lambda- \lambda'| $
    Ainsi, $g$ est lipschitzienne donc continue, et donc $\gamma$ est continue.
    De plus, $\gamma( \lambda) \in S$, $\gamma(0)= \dfrac{u}{ ||u||} = u$ et $\gamma(1)= v$ car $||u||=||v||=1$.
    $\gamma$ est bien un chemin continu sur la sphère de $u$ vers $v$.

    Supposons à présent $v=-u$. Comme $\dim \R^4=4 \geq 2$, il existe $w \in \R^4$ tel que $(u,w)$ soit libre. Ainsi $u \ne -w$. 
    Comme précédemment, on construit un chemin $\gamma'$ de $u$ vers $w$ et un chemin $\gamma ''$ de $w$ vers $-u$. 
    Donc il existe un chemin de $u$ vers $v$, par transitivité de la relation d'équivalence. 

    Une question : peut-on montrer la continuité de $\gamma$ plus rapidement ou avec une autre méthode ? 



  • Ca ne me semble pas intuitif que le segment $[u,v]$ passe par $0$ si et seulement si $u=-v$. 
    Si je fais un dessin avec $u$ et $v$ colinéaires dans le plan, et $u=-2v$ j'ai l'impression que $[u,v]$ passe par $0$. 
  • Modifié (April 2023)
    @O'Shine, je n'avais pas vu le message de @bisam, je viens de faire en vitesse le début du sujet. On est dans le corps des quaternions représentés par des matrices complexes.
    Oups, je viens de comprendre ce que tu as écrit. Le segment $[u,v]$ passe par $0$ si et seulement si $u=−v$, parce que $u$ et $v$ sont de norme $1$.
    Pour montrer que $\gamma$ est continue, elle est la composée de fonctions continues.
  • Modifié (April 2023)
    @Oshine tu ne fais que recopier ma démonstration avec des erreurs et des longueurs bien inutiles.
    Comme par exemple le numérateur de la fonction $\gamma$  (ta  fonction $g$)  est un polynôme en $\lambda.$ Donc est continue.
    À la place tu démontres qu'elle est lips. Donc une longueur de rédaction qui ne sert à rien, et, la contrepartie c'est que tu ne parles pas du dénominateur qui dépend de $\lambda$  aussi. Donc erreur.
    Justifier que  $\gamma$ est continue cela se fait en une phrase pas plus. Mettre 5  lignes pour expliquer que le numérateur est continu et oublier de parler de la continuité du dénominateur.... Et bien ce n'est pas  de la rédaction.  Bref c'est faux.
    Maintenant [UV] est une corde.  Une corde qui passe par le centre de la sphère, c'est un diamètre.  $U$ et $V$  sont diamétralement opposés.  $U=-V.$
    Si cela n'est pas intuitif ? L'intuition n'existe plus.
    Au niveau où se situe ce problème, on ne s'amuse pas à couper tous les cheveux en quatre. @gebrane s'est amusé en posant la question.
     
  • Modifié (April 2023)
    Si je fais un dessin avec $u$ et $v$ colinéaires dans le plan, et $u=−2v$ j'ai l'impression que $[u,v]$ passe par $0$. 
    Voyons, OShine... (j'enlève ce que j'avais envie de mettre, il paraît qu'il faut positiver)

    Réponse n°1 : Oui, $[u,v]$ passe par $0$ quand $u=-2v$, tu as raison, bien évidemment, comment peux-tu en douter ? 
    Réponse n°2 : Mais on parle de vecteurs $u$ et $v$ qui ont comme norme $1$, et ta condition $u=-2v$, elle n'est pas compatible avec $||u||=||v||=1$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (April 2023)

    Soient $x,y$ dans $S$ et $z$ unitaire dans $\left\{ x,y\right\} ^{\perp}$. Alors $x,z$ sont connectés dans $S$ (prendre $t\mapsto\cos\left(t\right)x+\sin\left(t\right)z$ sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$), de même $z,y$ sont connectés dans $S$ donc $x,y$ sont connectés dans $S$ qui est donc connexe par arcs.

  • Modifié (April 2023)
    @lourrran
    Ok merci.

    @bd2017
    $\gamma$ est à valeurs dans un espace vectoriel normé $\R^4$, on ne peux pas utiliser la propriété sur les fonctions polynomiales.
    Ici : $\gamma : [0,1] \subset \R \longrightarrow \R^4$.

    Le cours dit que : une fonction $f : \mathbf{K}^n \longrightarrow \mathbf{K}$ est dite polynomiale si elle est combinaison linéaire de produits de puissances. Toute fonction polynomiale sur $\mathbf{K}^n$ est continue. 

    L'application $\lambda \mapsto || \lambda ||$ est continue car $1$ lipschitzienne de $[0,1]$ dans $\R^4$. On a $\forall \lambda, \lambda' \in [0,1] \ | \  || \lambda - \lambda' || \  | \leq || \lambda- \lambda' ||$ (inégalité triangulaire).
    L'application $\lambda \mapsto (1- \lambda) u+ \lambda v$ est continue. Peut-on le montrer sans montrer que l'application est lipschitzienne ? 
    Si on prouve qu'elle est continue on a le résultat par composition et quotient de fonctions continues. 


  • @Oshine : Un isomorphisme n'est pas une égalité. Il faut se dire "c'est (presque) pareil" mais tu ne peux pas écrire des égalités tout de même. Il faut dire explicitement que tu démontres la connexité par arcs de la sphère unité de $\R^4$ pour ensuite en déduire celle de $S$ parce que l'isomorphisme $\psi$ est continu !
  • Modifié (April 2023)
    Ah d'accord merci on cherche un isomorphisme $\psi$ entre $S=\{ U \in \mathbf{H} \ | \ N(U)=1 \}$ et $\tilde{S}= \{ (x,y,z,t) \in \R^4 \ | \  x^2+y^2+z^2+t^2 =1 \}$.

    Soit $U \in S$. Comme $U \in \mathbf{H}$ et par l'unicité de l'écriture dans une base, $\exists ! (x,y,z,t) \in \R^4 \ \ U=x E+ y I + zJ + t K$ et $N(U)=1=x^2+y^2+z^2+t^2$.

    Ainsi, on définit $\psi : \R^4 \longrightarrow \mathbf{H} $ par $\psi ( (x,y,z,t) )= Z(x+iy,-z+it)$. $\psi$ est évidemment bijective d'après ce qui précède et on a $\psi( \tilde{S} )=S$.
    Montrons que $\psi$ est continue. 
    On a $\psi ((x,y,z,t) )= (x+iy) E_{11}+ (x-iy)E_{22}+(-z+it) E_{21}+(z+it)E_{12}$.
    L'application $f_1 : \R^4 \longrightarrow \C$ tel que $f_1 ((x,y,z,t)) = x+iy$ est polynomiale définie sur $\R^4$ à valeurs dans le corps $\C$, elle est donc continue. Le raisonnement est identique pour les autres coefficients de la matrice. 
    On sait que $\tilde{S}$ est connexe par arcs de $\R^4$ et $\psi$ est continue sur $\R^4$. 
    Par conséquent, $\boxed{\psi( \tilde{S} ) = S \ \text{est connexe par arcs} }$.




  • Finalement, c'était plus simple avec les matrices, il suffit de prendre des grandes lettres au lieu de petites, d'écrire $O$ au lieu de $0$, d'écrire $U=O-V$ au lieu de $u=-v$, etc ... .
  • Modifié (April 2023)
    On n'a pas besoin que $\psi$ soit injective, la surjection suffit car on veut seulement s'assurer que $\psi(\tilde S )=S$.
    Maintenant, une question pour Oshine : pourquoi ici la continuité préserve la connexité par arc ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    OShine je tiens à signaler qu'à l'unanimité (selon mes potes et moi + les discussions post-épreuves), l'épreuve de Maths A est celle qui a été le plus difficile de cette semaine et Maths D la plus simple, si tu veux essayer plus facile… (N'importe quel bon élève de MP* a fait + de la moitié du sujet)
    Je te fais cette remarque, car quand je t'ai dit de regarder Maths D, tu as directement dit que c'était pour les extraterrestres.
  • Modifié (April 2023)
    Finalement tu n'as pas justifié que $\gamma$ est continue ! Reste borné à énoncer des théorèmes restrictifs pour toute réponse à une indication donnée et en abordant des problèmes de concours d'un certain niveau sans avoir en main les outils simples. Bon vent !

    Edit.  Je viens de voir ceci !  
    OShine a dit :
    L'application $f_1 : \R^4 \longrightarrow \C$ tel que $f_1 ((x,y,z,t)) = x+iy$ est polynomiale définie sur $\R^4$ à valeurs dans le corps $\C$, elle est donc continue.
    Affirmer une chose et son contraire faut le faire.
    Si tu ne peux pas dire que $g$  est continue alors $\psi$ non plus.  
     
  • Modifié (April 2023)
    @gebrane
    Théorème : 
    Soit $E,F$ deux espaces vectoriels normés, $A \subset E$ connexe par arcs et $f : A \longrightarrow F$ continue, alors $f(A)$ est connexe par arcs.

    Preuve : 
    Soit $y_0,y_1 \in f(A)$, il existe $(x_0,x_1) \in A^2$ tel que $y_0=f(x_0)$ et $y_1=f(x_1)$.
    Il existe $\gamma : [0,1] \longrightarrow A$ continue tel que $\gamma(0)=x_0$ et $\gamma(1)=x_1$.
    Posons : $\phi= f \circ \gamma : [0,1] \longrightarrow f(A)$.
    $\phi$ est continue et $\phi(0)=y_0$ et $\phi(1)=y_1$ donc $f(A)$ est connexe par arcs.

    Pour la $5$, il me semble que le produit vectoriel est hors-programme, je vais chercher un peu et je verrai si j'arrive à trouver quelque chose.
  • @bd2017
    Le cours dit que toute fonction polynomiale de $\mathbf{K}^n \longrightarrow \mathbf{K}$ est continue.
    Ce théorème ne s'applique pas pour $\gamma$ qui est à valeurs dans $\mathbf{K^4}$ à moins que tu inventes des théorèmes.
  • Modifié (April 2023)
    Arrête avec tes âneries.  Je n'invente rien. Un cours restrictif n'est pas un cours qui englobe tout.
    Et puis ta fonction $\psi$ est une fonction polynomiale de $\R^4$ ( à plusieurs variables)     à valeurs dans $H.$ Tu te permets de dire qu'elle est continue.
    Moi $g(t)=U +t(U- V)$   elle est polynomiale de $\R$ (donc une seule variable) et à valeurs dans $\R^4.$
    Dans un certain sens c'est encore plus simple que $\psi. $  
    On voit que tu racontes n'importe quoi et que  tu ne comprends rien à rien  et que tu ne fais que du recopiage de ce qu'on te donne et que tu penses avoir compris.
    Alors sort ton cours et interdit toi de dire que $\psi$  est continue  puisque tu utilises "un théorème que j'ai inventé."
    Exaspéré,  je me  retiens aussi d'en dire plus et je regarde le foot...
     
  • Bon tu avances Oshine vers les suivantes
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    @LoanSupOp
    J'ai regardé MathsD ça me semble plus dur que mathsA, rien qu'en voyant la page de notation avec les polynômes à $n$ indéterminées, je suis perdu.
    Je ne vois rien d'accessible dans le sujet de maths D je pense que je n'arriverais à faire aucune question, ça me semble trop compliqué. C'est trop théorique, je ne comprends même pas les questions. 
    Alors que mathsA la page de présentation ne comporte pas de choses compliquées et je comprends les questions. 


  • gebrane a dit :
    Bon tu avances Oshine vers les suivantes
    Pourquoi l'inciter à faire les questions suivantes?  Le numérateur de la fonction  $\gamma$  (la fonction $g$ est continue).  Il en déduit que la fonction $\gamma$  est continue alors que le dénominateur dépend de la variable $t$ aussi. Ce n'est pas sérieux. Ni même affirmer  qu'on ne peut pas dire que $g$ est continue parce qu'elle est polynomiale et puis deux lignes après il dit que $\psi$ est continue car polynomiale. C'est quoi tout ça? Le ravage de l'EN ?
    @Os doit arrêter là au risque d'un fiasco total. Pour avoir regardé les 2 ou 3 questions suivantes ça va être pire.
    Les personnes intéressées par le sujet n'ont qu'à apporter leurs solutions.  
     
  • Je ne comprends pas ton piaillement, la fonction $\gamma$ comme fonction vectorielle est trivialement définie et continue sur [0,1]  ( j’espère qu'on parle de la même chose, Pour deux points $U$ et $V$  fixés de la sphère unité, non diamétralement opposée
    on pose $\gamma(t)=\dfrac{ (1-t) U  + t V} {||(1-t) U  + t V  ||}$ , pour tout   $t \in [0,1]$




    Le 😄 Farceur


  • Modifié (April 2023)
    @gebrane Il faut savoir où on est et où on va.  Pour  presque tous ( et donc pour moi)  la fonction $\gamma$  est évidemment continue  pourvu que $U+V\neq 0 .$
    C'est un fait. Il n' y a rien à dire de plus.
    Néanmoins tu incites @Os à participer. Ok, admettons. Alors il reprend ma démonstration, en essayant  de justifier que $\gamma$  est continue.
    C'est son droit. On le fait en une phrase et point barre. 
    A la place de cela:
    1.  il démontre que le numérateur $t\mapsto t(1-t)U +t V $  est continue en montrant que c'est une fonction lips.  Bon, c'est un peu inutile parce que c'est une fonction polynomiale.
    2. Il m'explique par A+ B    que mon argument n'est pas correct.
    3. Cela ne le gêne pas d'utiliser le même argument pour dire que $\psi$ est continue.
    4 . Et pour clore le tout il déduit que $\gamma$  est continue parce que le numérateur est continue. Il n'explique pas pourquoi le dénominateur est continu.

    Si tu l'incites à faire le problème, il faut au minimum exiger de  sa part, pour le peu qu'il va faire,  un peu de sérieux et il faut que ce qu'il écrit soit correct. 

    Bref, je vois que c'est encore mal parti. Cela va encore "résonner" pas mal !!!  
    À force de vouloir mettre un peu de rigueur, je vais avoir le droit à toutes sortes de commentaires... "J'invente des théorèmes qui n'existent pas, je vois des fautes qui n'existent pas", "c'est du chinois ..."  
    Au fait, pourquoi tu ne mets pas de temps à autres tes solutions ?....   C'est vrai que c'est un peu long à écrire mais tout de même. Si chacun y mettait du sien le sujet serait vite terminé.  On ne va pas attendre @Os pour faire la suite. J'ai rédigé la 4.,  la 5. J'ai regardé la 6, 7 . 8... pas de problème mais je vois mal Os faire quoique soit.   Il y a des détails techniques qui le dépassent. S  est connexe par arcs mais qu'en est-il $S\times S$ ?  
    Penser à la topologie qu'il y a sur $S \times S$... et répondre à cette question c'est bien trop compliqué pour lui. Et ensuite... Il va falloir un mois pour faire le sujet ...  Pour le sujet d'Agreg interne qui ne posait aucune difficulté, il n' a pas fait une question de lui même. Ici c'est un peu plus difficile, il y a moins d'indication alors qu'est ce que ça va donner ? 
     
  • Modifié (April 2023)
    Bonjour. Ta question @gebrane (celle que tu as effacée, sur l'existence de $W$) était en fait hautement pertinente. En effet, la sphère unité dans $\R$, qui ne comporte que 2 points, n'est pas connexe.
    Pour démontrer que $S$ est connexe, pour ne pas faire de cas particulier (diamètre ou non, formé par les 2 points $U$ et $V$), alors autant utiliser dans tous les cas ce 3ème point non diamétralement opposé aux 2 autres (qui existe donc), pour faire passer le chemin par là.
    Sinon pour montrer que $\gamma$ est continue, je ferais pas à pas, toutes ces applications sont continues : $t \mapsto 1-t$ (évident), $t \mapsto tU$ car c'est une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie, l'addition des vecteurs dans un espace vectoriel, la norme, l'inverse si la variable ne s'annule pas, etc ... 2 lignes pas plus. C'est évident et pas très intéressant, donc ne pas s'appesantir.
    Une question pour @O'Shine plus haut : de la même façon, il faut montrer que ton $w$ existe bien dans la sphère unité.
  • Modifié (April 2023)
    bd2017
    Bonjour, je tiens à souligner et à apprécier ta participation dans cette discussion. Cependant, il est important de noter que le but n'est pas de partager nos solutions.  On corrige et complète celles de OS.  Comme l'a dit Julia,  passons !   Si Oshine a maladroitement expliqué la continuité,Il y a des questions qui méritent qu'on s'y attarde.
    La question que j'avais posée à Julia est la suivante : montrer que $S$ est connexe par arc sans passer par $\R^4$, en proposant le même $\gamma$ légèrement modifié (on remplace $||\cdot||$ par $\sqrt{N(\cdot)}$)."
    Le 😄 Farceur


  • @bd2017 : Je suis d'accord avec toi sur le fait que la question 7, par exemple, est loin d'être simple et qu'il faut un sacré recul pour voir toutes les difficultés qui sont présentes. À vrai dire, dans cette partie II, il n'y a guère que la 8.a, la 10.b et la 13.b que l'on peut qualifier de "faciles". Même la 6) est piégeuse.
  • Modifié (April 2023)
    @ Gebrane On ne doit pas avoir le même but.
    Sinon pour ta question. Sans vouloir te vexer :  Bof!  vu l'isomorphisme on fait la même chose? N'y-a-t-il pas une identification entre un élément de $H$  et ses coordonnées dans $R^4$? 
     
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