Trois demi-droites qui passent par O

jelobreuil
Modifié (April 2023) dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Voici encore trois alignements à expliquer. Soit $ABC$ un triangle muni de ses trois médiatrices, les points que j'appelle "points de sortie", intérieurs ($Ai, Bi, Ci$) et extérieurs ($Ae, Be, Ce$), de ces médiatrices, les deux cercles passant l'un, $(Oi)$, par $Ai$, $Bi$ et $Ci$, l'autre, $(Oe)$, par $Ae$, $Be$ et $Ce$ ,et les trois cercles passant l'un, $(Oa)$, par $A$, $Ai$ et $Ae$, l'autre, $(Ob)$, par $B$, $Bi$ et $Be$, et le troisième, $(Oc)$, par $C$, $Ci$ et $Ce$. Chacun de ces trois derniers cercles recoupe les deux premiers, respectivement, en les points $Ai'$ et $Ae'$, $Bi'$ et $Be'$, et $Ci'$ et $Ce'$.
Montrer que chacune des trois demi-droites $Ae'Ai'$, $Be'Bi'$, et $Ce'Ci'$ passe par $O$, le centre du cercle circonscrit à $ABC$.
Bien cordialement, JLB

Réponses

  • Bonjour
    Merci pour ce problème interessant. Pour ce qui suit, j'utilise la notation suivante : si ABC... est un polygone inscriptible, je note (ABC...) son cercle circonscrit.
    Notons déjà que le problème n'a pas de solution si le triangle ABC est rectangle. En revanche, s'il est isocèle de sommet A, on peut établir les alignements indiqués dans l'exercice.
    Tout le problème résulte du fait que si l'on désigne par e et f les intersections de la médiatrice de BC avec le cercle (ABC) alors : (e,f,Ai,Ae)=-1.
    L'alignement des points OAi'Ae' en résulte (presque) directement.
    De plus il existe six autres alignements du même ordre. 
    Les cercles (ABC), (AiBiCi) et (AeBeCe) sont 3 cercles d'un même faisceau. 
    Les homothéties qui transforment le cercle (AiBiCi) en (AeBeCe) ont pour centres le point O d'une part, et le point S d'autre part, et le point S est situé sur l'un des côtés du triangle ABC.   
    Cordialement.
  • jelobreuil
    Modifié (June 2023)
    Bonsoir @Epinard
    Merci beaucoup de t'être intéressé à ce problème, et des pistes de résolution que tu proposes ...
    Bien cordialement, JLB
  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Bonjour Jelobreuil
    Avec la même construction n'utilisant que la BC-médiatrice, ses points d'intersection A₁︎ et A₂︎ avec AC et le prolongement de AB, j'ai tracé
    • le cercle (A,A₁︎,A₂︎) comme dans le problème présenté,
    • les deux cercles (O,A₁︎) et (O,A₂︎) centrés par le centre circonscrit du triangle ABC et coupant le cercle précédent en O₁︎ et O₂︎.

    Nous obtenons 
    • A₁︎O₁︎ // A₂︎O₂︎ (Reim, par construction)
    ⇒ (Thalès)
    • O, O₁︎ et O₂︎ sont colinéaires
    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon 
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