Quadrilatère harmonique - une autre approche ?

gipsyc
Modifié (April 2023) dans Géométrie
Bonjour
L'usage en géométrie est de définir le quadrilatère harmonique
• comme un quadrilatère cyclique dont le produit des côtés opposés est égal à celui des 2 autres côtés, ou encore
• par une autre de ses propriétés, le fait que chacune de ses diagonales est une symédiane dans chacun des deux triangles construits par les côtés et l'autre diagonale.
Une propriété que je n'ai pas retrouvée telle quelle (sur Wikipedia ou d'autres pages web sur la question) me paraît mieux corrélée au terme harmonique, et est détaillée ci-dessous.
Peut-être apparaît-elle dans des traités plus anciens de géométrie.
Soit un faisceau harmonique (construit comme montré sur le schéma)
   A(B,C;M,D) = -1
Tout cercle tangent en A à l'une des droites du faisceau coupe ces 4 droites en 4 points réalisant un quadrilatère harmonique.

Je ne l'ai vérifié qu'avec le cercle tangent en A à la droite AB, mais je ne vois pas pourquoi il en serait différemment pour les autres droites du faisceau.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    Tu oublies le birapport égal à $-1$.
    D'autre part, ton cercle n'a pas besoin d'être tangent à quoi que ce soit, il suffit qu'il passe par $A$.

    Cordialement,
    Rescassol
    PS: Pourrais tu perdre cette manie d'écrire en anglais sur un forum francophone ?

  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour Rescassol,
    Merci pour les commentaires.
    Je n'oublie pas le birapport ... que tout le monde est supposé connaître lorsqu'on parle de section d'un faisceau harmonique.
    C'est exact que la tangence en A n'est pas nécessaire si l'on exclut A des points d'intersection à considérer pour le quadrilatère, qui devient sinon un pentagone.
    Pour l'agacement manifesté à l'égard des graphiques rédigés en anglais, ils sont publiés tels que présentés dans les forums (non francophones) où je les partage.
    L'intérêt de cette présentation succincte (en anglais) pour les participants de ces forums est d'un texte qui va à l'essentiel, le graphique étant implicite pour le reste.
    J'espère que mon effort pour les présenter ici en français est apprécié : nul besoin de lire le texte en anglais.
    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon
  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    > J'espère que mon effort pour les présenter ici en français est apprécié :
    > nul besoin de lire le texte en anglais.
    Oui, si tous les points étaient définis dans le texte en français.

    Cordialement,
    Rescassol
  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour
    Toute considération linguistique mise à part, je trouve que le concept de tangente en un point du quadrilatère cyclique donnant un faisceau harmonique (en vert)

    reste intéressant pour prouver qu'un quadrilatère cyclique est harmonique.
    Exemple
    Avec un triangle A-isocèle et une construction explicite
       BC = CB'
    donnant un quadrilatère ABCD harmonique (à prouver).

    La tangente en A au cercle circonscrit donne avec la A-médiane du triangle ABB' (puisque BC = CB') et les côtés AB et AB' le faisceau harmonique recherché et donc la solution.
    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon
  • Bonjour Jean-Pol,
    merci pour ton message...Pour ce dernier problème que j'ai vu sur Romantics of Geometry, avec tangentes en A et C, c'est cette solution qui convient ...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour JL Ayme,
    Merci pour la réponse.
    Jean-Pol Coulon 
  • pappus
    Modifié (April 2023)
    Bonjour à tous
    Je pense qu'il est préférable de parler de quadrangle harmonique (quatre points) plutôt que de quadrilatère harmonique (quatre droites).
    Soit $ABC$ un triangle et $M(x:y:z)$  un point du plan repéré par ses coordonnées barycentriques homogènes.
    Les points $M_a(-x:y:z)$, $M_b(x:-y:z)$, $M_c(x:y:-z)$ sont dits associés au point $M$, (voir le Lalesco).
    Quel est le lieu des points $M$ tels que le quadrangle $MM_aM_bM_c$ soit harmonique, i.e: $(M,M_a,M_b,M_c)=-1$?
    Amicalement
    pappus

  • Swingmustard
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    Regulp. Le pire dans ma formule, est peut-être de l'avoir appliquée à des points non alignés ?
    Je préfère la cacher ! Mettons que je n'ai rien dit.
    $$\dfrac{\begin{pmatrix}x\\-y\\z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\-y\\z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}}:\dfrac{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\end{pmatrix}$$ $$\Leftrightarrow\dfrac{\begin{pmatrix}-2yz&0&2xy\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2yz&-2zx&0\end{pmatrix}}:\dfrac{\begin{pmatrix}2yz&-2zx&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2yz&0&2xy\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\end{pmatrix}$$
    $$\begin{pmatrix}1&0/4z^2x^2&4x^2y^2/0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\end{pmatrix}$$
    Gulp.
    J'aurais parié que le calcul du birapport par des produits vectoriels, qui me paraît marcher avec les coordonnées homogènes,
    fonctionne aussi avec les coordonnées barycentriques.
    Ben visiblement, j'aurions perdu !
    Amicalement,
    Swingmustard
  • Bonjour,

    Un début:
    Le lieu des points $M$ tels que $M,M_a,M_b,M_c$ soient cocycliques est le cercle d'équation barycentrique:
    $(-a^2+b^2+c^2)x^2 + (a^2-b^2+c^2)y^2 + (a^2+b^2-c^2)z^2=0$ qui est de centre l'orthocentre $H$.
    Ce cercle n'est réel que si le triangle $ABC$ est acutangle.

    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    Un commentaire, avant de réfléchir à la question de pappus.

    Le triangle ABC est le triangle diagonal du quadrangle harmonique complet.

    Jean-Pol Coulon 
  • pappus
    Modifié (April 2023)
    Bonjour à tous
    Notre ami Rescassol a fait un petit lapsus.
    Il voulait dire le contraire c'est à dire obtusangle.
    Mais pour la question que je pose et qui est différente, cela ne suffit pas.
    Il y a une petite condition supplémentaire!
    Amicalement
    pappus
  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    Merci, Pappus, d'avoir corrigé mon lapsus, c'est bien ce que je voulais dire.
    Le carré du rayon du cercle de centre $H$ vérifie $R^2=-\dfrac{(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)}{2(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)}$
    On doit bien avoir un, et un seul, des trois nombres $S_a, S_b, S_c$ (Conway) négatif.

    Cordialement,
    Rescassol

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