Dérivée d'intégrale généralisée dépendant d'un paramètre

Besma bissan

Salut,

Je dois calculer la dérivée par rapport à $t$ de la fonction 
$ (t,s) \rightarrow \int_{0}^t \frac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$,
où $\alpha$ est une constante réelle positive.

J'ai pensé à utiliser la formule suivante, 

$ \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}f(t,s)ds= \int_{a(t)}^{b(t)}\frac{d}{dt}f(t,s)ds+b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t)$

mais je suis tombé sur une erreur (la fonction n'est pas définie pour $ s=t$.

Comment compléter ce calcul?

MrJ

À quelle condition sur $\alpha$ :
1) l’intégrale est-elle convergente ?
2) la dérivée de l’intégrande par rapport à $t$ est-elle intégrable ?

Alain24

La fonction dont il est question est $t\mapsto\int_0^t\dfrac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$ et tu aura besoin de savoir comment se comporte $f$ sur $[t-\varepsilon,t[$ avec $\varepsilon$ "petit" (en l'absence d'hypothèse de cette nature il est impossible de conclure) et aussi d'hypothèse sur la fonction $f$ (Est-elle intégrable et à quel sens sur quel domaine de définition?)

etanche

Est-ce qu’il y a d’autres hypothèses sur $ f$ ?

Besma bissan

@etanche
$f$ est une fonction continue sur tout le domaine.

Alain24

Besma bissan
Le mot domaine a plusieurs acceptations suivant les auteurs. S'agit-il du domaine de définition de $f$ ? Si le domaine est le domaine de définition de $f$, est-il un ouvert ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Besma bissan

@Alain24 $f$ est defini sur un intervalle fermé borné $[0;T]$.

Alain24

Tout dépend de la valeur de $\alpha$ et de $f$. $f$ s'annule-t-elle? La dérivée est-elle définie au sens des distributions? Comme coefficient directeur de la différentielle (i.e. limite du taux d'accroissement)?

gebrane

Je viens de lire ce fil
@Alain24 Il semble que cette question t'intéresse. Elle a été profondément étudiée dans ce fil de discussion.     fil

J'en profite pour saluer chaleureusement @mojojojo et @remarque. Si l'un de vous reçoit cette notification, n'hésitez pas à m'envoyer un message privé (mp).     Merci.