Produit de limites de suites

Ch4rstz

Bonjour
Je tente d'éclairer un point que je trouve confus dans mon cours. Si je me place dans un EVN quelconque (E, ||.||) et que j'ai deux suites (u_n) et (v_n) tendant respectivement (dans l'EVN) vers deux éléments de E : l1 et l2. Même si ce n'est pas mentionné, il me semble pas en essayant de le démontrer qu'il soit évident d'affirmer que (u_n*v_n) tend vers l1*l2 à part si E est une algèbre normée ce qui me permet de faire la preuve facilement. Mais est-ce que quelqu'un aurait une piste de contre-exemple dans le cas où E n'est pas une algèbre normée.  

Je pourrais ignorer tout cela mais le problème est que plus tard dans le cours pour les fonctions il est écrit que pour deux fonctions f, g allant d'un espace métrique (X,d) dans un EVN (E,||.||) convergent vers l1 et l2 alors fg converge vers l1l2 et que cela se prouve en utilisant le critère séquentiel et donc il semblerait qu'il n'y ait pas de contre-exemple possible à trouver ?

Merci d'avance pour les éclaircissements 

gerard0

Bonjour.
Dans un espace vectoriel, c'est quoi le produit $u_nv_n$ de deux vecteurs ? Tu es sûr qu'il s'agit d'EVN ? Effectivement, si E est une algèbre, la notion de produit revient. Mais pas besoin de contre-exemple ici, la notion de produit n'a de sens que s'il y en a déjà un.

Cordialement.

Dom

Hum… un evn est un cas particulier d’un espace métrique. 

Dans les espaces métriques, la limite du produit* de deux suites convergentes (pour ladite métrique)   : 
1) existe
2) est égale au produit des limites, non ?

Par contre, pour la deuxième partie de ton message je n’ose pas me lancer. Ça ressemble à des limites de fonctions… 

*Édit : j’allais ensuite parler de l’existence de ce « produit », mais Gérard est là 😀

Il faut quand même regarder de près…

Ch4rstz

Ce n'est pas faux effectivement j'ai très mal réflechi à la question ... merci !