Parallélogramme

gipsyc
Modifié (April 2023) dans Géométrie
Deux exercices pour le week-end, dans un parallélogramme (segments non orientés).

et avec le même schéma deux cercles (K,KA) et (C,L,M) orthogonaux à prouver (donné par Thanos Kalogerakis).

Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Première question
    Une preuve graphique, la suite par Thalès.

    Pour la deuxième question, une approche est de prouver que

    et l'on obtient un cercle (C,L,M) coupant le diamètre de l'autre dans un rapport harmonique.

    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon 
  • Bonjour,

    En barycentrique:
    % Gipsyc - 15 Avril 2023 - Parallélogramme
    
    A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
    B=[0; 1; 0];
    C=[0; 0; 1];
    
    syms m real
    
    D=[1; -1; 1]; M=[0; 1; m]; % M un point quelconque de (BC)
    AM=Wedge(A,M); BD=Wedge(B,D); K=Wedge(AM,BD); % K=[m; 1; m]
    CD=Wedge(C,D); L=Wedge(AM,CD); % L=[-1; 1; m]
    
    Nul1=FactorT(Vecteur(B,K).*Vecteur(B,C)-Vecteur(K,D).*Vecteur(B,M))
    Nul2=FactorT(Vecteur(C,L).*Vecteur(B,C)-Vecteur(L,D).*Vecteur(C,M))
    
    % On trouve [0, 0, 0] pour les deux
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Question 2: AK=sqrt(KL*KM) ?
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    AK2=Distance2(A,K,a,b,c); % AK^2
    KL2=Distance2(K,L,a,b,c); % KL^2
    KM2=Distance2(K,M,a,b,c); % KM^2
    
    Nul3=Factor(AK2^2-KL2*KM2) % Égal à 0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    personnellement je ne sais où l'on va...Aussi je réponds selon mon point de vue...
    La première figure met en jeu des triangles semblables qui règlent les rapports proposés.
    La deuxième figure propose deux cercles orthogonaux...
    Pour y parvenir, l'idée de considérer le symétrique A' de A par rapport à B conduit à un pinceau harmonique de sommet C qui a son tour présente un quaterne harmonique...
    Comme (A'B) // (BD), K est bien un milieu et la formule de Newton...à l'orthogonalité des deux cercles...
    Désolé pour ce court schéma.
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Ça ressemble fortement à l'exercice 280 du Lebossé Hémery, Géométrie, classe de 2nde (programme de 1960).
  • @Ericpasloggue Je trouve cet exercice difficile, il y avait beaucoup de bacheliers en 1960?

  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour
    En géométrie analytique ordinaire, dans le repère $(B;\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$:
    $B(0;0),\space C(1;0),\space A(0;1),\space D(1;1),\space M(m;0)$
    $(BD): y=x \space\space (AM): \dfrac{x}{m}+y=1$
    $K\left(\dfrac{m}{1+m};\dfrac{m}{1+m}\right),\space L\left(1;1-\dfrac{1}{m}\right)$
    Vecteurs:
    $\overrightarrow{BK}=\left(\dfrac{m}{1+m};\dfrac{m}{1+m}\right),\space\overrightarrow{KD}=\left(\dfrac{1}{1+m};\dfrac{1}{1+m}\right)$ donc $\overrightarrow{BK} = m \overrightarrow{KD}$
    $\overrightarrow{BM}=(m;0),\space\overrightarrow{BC}=C(1;0)$ donc $\overrightarrow{BM} = m \overrightarrow{BC}$ 
    On a bien $\dfrac{BK}{KD}=\dfrac{BM}{BC}=|m|$
    Cordialement,
    Rescassol
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    pour être plus précis
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333942/parallelogramme#lates  Problème 11
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • gipsyc
    Modifié (May 2023)
    Pour la 2e question (prouver CE = EM) je propose
    Soit CS ∩ DM = G
    AK = KS par construction
    AO = OC par intersection des diagonales
       Thalès  ⇒ OK // CS ⇒  BD // CG

    ΔDBM : BD // CG

       Thalès ⇒ DG/GM = BC/CM 

                Comme BC = AD

        DG/GM = AD/CM                                    (1)

    Quadrilatère croisé AD-L-CM, AD // CM

       Thalès ⇒  AD/CM = DL/LC = AL/LM       (2)

    (1)(2) ⇒ DG/GM = DL/LC ⇒ LG// CM

    ⇒ 

    Quadrilatère CFGM est un trapèze dont 

        • les bases parallèles sont CM et LG 

        • la prolongation des côtés latéraux donne D

        • l'intersection des diagonales donne S

    Comme DS par  S est la D-médiane du ΔDCM associé au trapèze (une propriété des trapèzes) et que DS ∩ CM = E
    ⇒ CE = EM

    Pour la 3e question concernant les cercles orthogonaux, la preuve de la médiane qui vient d'être donnée associée à la droite AD // BC et aux deux autres droites encadrant la médiane permet d'affirmer que le deuxième cercle coupe le diamètre AS du premier de manière harmonique, ce qui en fait bien des cercles orthogonaux.
    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon 

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.