Parallélogramme
Réponses
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Première question
Une preuve graphique, la suite par Thalès.
Pour la deuxième question, une approche est de prouver que
et l'on obtient un cercle (C,L,M) coupant le diamètre de l'autre dans un rapport harmonique.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Bonjour,
En barycentrique:% Gipsyc - 15 Avril 2023 - Parallélogramme A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; syms m real D=[1; -1; 1]; M=[0; 1; m]; % M un point quelconque de (BC) AM=Wedge(A,M); BD=Wedge(B,D); K=Wedge(AM,BD); % K=[m; 1; m] CD=Wedge(C,D); L=Wedge(AM,CD); % L=[-1; 1; m] Nul1=FactorT(Vecteur(B,K).*Vecteur(B,C)-Vecteur(K,D).*Vecteur(B,M)) Nul2=FactorT(Vecteur(C,L).*Vecteur(B,C)-Vecteur(L,D).*Vecteur(C,M)) % On trouve [0, 0, 0] pour les deux %----------------------------------------------------------------------- % Question 2: AK=sqrt(KL*KM) ? syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC AK2=Distance2(A,K,a,b,c); % AK^2 KL2=Distance2(K,L,a,b,c); % KL^2 KM2=Distance2(K,M,a,b,c); % KM^2 Nul3=Factor(AK2^2-KL2*KM2) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour,personnellement je ne sais où l'on va...Aussi je réponds selon mon point de vue...La première figure met en jeu des triangles semblables qui règlent les rapports proposés.
La deuxième figure propose deux cercles orthogonaux...
Pour y parvenir, l'idée de considérer le symétrique A' de A par rapport à B conduit à un pinceau harmonique de sommet C qui a son tour présente un quaterne harmonique...
Comme (A'B) // (BD), K est bien un milieu et la formule de Newton...à l'orthogonalité des deux cercles...Désolé pour ce court schéma.
Sincèrement
Jean-Louis -
Ça ressemble fortement à l'exercice 280 du Lebossé Hémery, Géométrie, classe de 2nde (programme de 1960).
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BonjourEn géométrie analytique ordinaire, dans le repère $(B;\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$:$B(0;0),\space C(1;0),\space A(0;1),\space D(1;1),\space M(m;0)$$(BD): y=x \space\space (AM): \dfrac{x}{m}+y=1$$K\left(\dfrac{m}{1+m};\dfrac{m}{1+m}\right),\space L\left(1;1-\dfrac{1}{m}\right)$Vecteurs:$\overrightarrow{BK}=\left(\dfrac{m}{1+m};\dfrac{m}{1+m}\right),\space\overrightarrow{KD}=\left(\dfrac{1}{1+m};\dfrac{1}{1+m}\right)$ donc $\overrightarrow{BK} = m \overrightarrow{KD}$$\overrightarrow{BM}=(m;0),\space\overrightarrow{BC}=C(1;0)$ donc $\overrightarrow{BM} = m \overrightarrow{BC}$On a bien $\dfrac{BK}{KD}=\dfrac{BM}{BC}=|m|$Cordialement,Rescassol
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Bonjour,
pour être plus précis
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333942/parallelogramme#lates Problème 11
Sincèrement
Jean-Louis -
Pour la 2e question (prouver CE = EM) je proposeSoit CS ∩ DM = G
AK = KS par construction
AO = OC par intersection des diagonales
Thalès ⇒ OK // CS ⇒ BD // CGΔDBM : BD // CG
Thalès ⇒ DG/GM = BC/CM
Comme BC = AD
DG/GM = AD/CM (1)
Quadrilatère croisé AD-L-CM, AD // CM
Thalès ⇒ AD/CM = DL/LC = AL/LM (2)
(1)(2) ⇒ DG/GM = DL/LC ⇒ LG// CM
⇒
Quadrilatère CFGM est un trapèze dont
• les bases parallèles sont CM et LG
• la prolongation des côtés latéraux donne D
• l'intersection des diagonales donne S
Comme DS par S est la D-médiane du ΔDCM associé au trapèze (une propriété des trapèzes) et que DS ∩ CM = E
⇒ CE = EMPour la 3e question concernant les cercles orthogonaux, la preuve de la médiane qui vient d'être donnée associée à la droite AD // BC et aux deux autres droites encadrant la médiane permet d'affirmer que le deuxième cercle coupe le diamètre AS du premier de manière harmonique, ce qui en fait bien des cercles orthogonaux.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Bonjour!
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