EDO satisfaite par une fonction algébrique

john_john

Bonjour à tous,
Si je considère une fonction $\varphi$ définie implicitement au voisinage de $0$ par une équation $P(x,y)=0$, où $P$ est un polynôme sur $\R$ satisfaisant aux hypothèses $P(0,0)=0,\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}(0,0)\neq0$, comment trouver, au moins dans le principe, une EDO linéaire satisfaite par $\varphi$ ?
Si je m'aide du quotient $\R(X)[Y]/(P)$, qui est un $\R(X)$--ev de dimension finie, je peux vérifier que la famille des $\varphi^{(k)}$ est liée sur $\R(X)$, mais comment garantir que l'on peut exiger en plus que $0$ ne soit pôle d'aucune fraction rationnelle intervenant dans une telle relation linéaire ?
Un argument de localisation ?
Y a-t-il une documentation abordable sur le sujet ?

Merci d'avance, j__j

Post scriptum : si je prends un cas simple, comme $P=Y-Y^n-X$, j'obtiens une EDO de la forme $D(x)y^{(n-1)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}a_kx^ky^{(k)}$, où $D$ est le discriminant de $P$ considéré comme élément de $\R(X)[Y]$. C'est une généralisation que j'espère : l'ordre de l'EDO est majoré par le degré en $Y$ et le <<coefficient>> en $y^{(m)}$, $m$ maximal, a quelque chose à voir avec le discriminant.

Héhéhé

On peut vraiment obtenir des équations différentielles linéaires?

Si je prends l'exemple simple de $P = X^2 + Y^2 - 1$ (en se plaçant au voisinage de $(0,1)$ plutôt que $(0,0)$, on pourrait s'y ramener par translation), dériver l'expression $x^2 + \phi(x)^2 - 1 = 0$ donne 
$$\phi'(x) = \frac{-x}{\phi(x)}$$
mais je ne vois pas comment obtenir quelque chose de linéaire à partir de là, j'ai tenté de poser $\psi = \frac{1}{\phi}$ mais dans ce cas $\psi^2 = \frac{-1}{\phi^2}$ qui n'est pas linéaire. J'ai aussi tenté de dériver deux fois  $x^2 + \phi(x)^2 - 1 = 0$ mais alors il y a un terme non linéaire en $(\phi')^2$...

john_john

Bonjour, Héhéhé,
mais si : dérive l'identité $2\ln y=\ln(1-x^2)$ (ce n'est toutefois pas la méthode générale dont je parlais).

Héhéhé

Ha oui bien vu, mais bon difficile à généraliser en effet.

john_john

Effectivement, difficile à généraliser mais ce n'est pas non plus la méthode à suivre en toute généralité : ici, plaçons-nous dans l'anneau $\R(X)[Y]$ quotienté par l'idéal engendré par $P(Y)=Y^2+X^2-1$ ; la fonction $y$ (que tu as appelée $\varphi$) satisfait à $x+yy'=0$ et donc $y'=-\displaystyle\frac xy\cdot$ Or, $y\cdot y=1-x^2$ et  par conséquent $\displaystyle\frac1y=\frac{y}{1-x^2}$ puis $y'=\displaystyle\frac{xy}{x^2-1}\cdot$

Si l'on veut appliquer cette méthode à l'équation $Y-Y^3=X$, il faut s'armer de courage (ou d'un logiciel de calcul formel) car, ici, il faudra chasser les dénominateurs dans les expressions de $y'$ et de $y''$. Du fait que $1,y,y',y''$ appartiennent au sous-espace vectoriel (de l'algèbre quotient construite mutatis mutandis) engendré par $1,y,y^2$, nous avons une relation linéaire entre $1,y,y',y''$ à coefficients dans $\R(X)$.

On trouve à grand ahan l'EDO linéaire $(4-27x^2)y''-27xy'+3y=0$ ; la présence du facteur dominant $4-27x^2$ n'est pas une surprise puisque c'est le discriminant du polynôme.

john_john

L'exemple du polynôme $P=XY^2-Y+1$ montre que l'exigence d'avoir des multiplicateurs sans pôle en $0$ ou, ce qui revient au même, un multiplicateur dominant polynomial, après réduction à un dénominateur commun, ne s'annulant pas en $0$ est exagérée (l'exemple de $Y-Y^n=X$ était donc trop particulier).
Avec $XY^2-Y+1$, une EDL est $x(1-4x)y'+(1-2x)y=1$, qui n'est pas de la forme escomptée ; bien entendu, cela n'exclut pas qu'il puisse y en avoir une autre, d'ordre supérieur en particulier, mais, sauf erreur de ma part, j'ai vérifié que cela ne peut exister. Une hypothèse raisonnable à rajouter est peut-être que $P(0,Y)$ ait même degré que $P(X,Y)$, vu comme polynôme en $Y$,

Jusqu'à présent, personne ne m'a fait grief de mélanger sans vergogne le côté formel (variables et fonctions en lettres capitales) et le côté fonctionnel (usage de minuscules), mais cela se justifie proprement par l'introduction d'une dérivation dans le corps quotient. Du moins si, là encore, je ne me suis pas trompé...

Héhéhé

Mais avec $P(x,y) = x\,y^2- y + 1$, on n'a pas $P(0,0) = 0$ donc je ne comprends pas trop ton contre-exemple...

john_john

C'est vrai, mais j'avais pris le cas particulier de $(0,0)$ pour fixer les idées ; ici, c'est en $(0,1)$ que l'on se place (comme dans ton exemple avec $X^2+Y^2-1$). D'ailleurs, j'ai corrigé le membre de droite de mon EDO ci-dessus.