L’argument diagonal selon Wikipédia

Dom

Bonne idée de parler d’autres ensembles non dénombrables. Mais j’entends déjà Sneg recentrer « oui mais si on ne parle que des réels, n’importe quel ensemble non dénombrable de réels contient forcément un réel non calculable ». Nous tous, on lui dit « oui » sans sourciller mais pour Sneg, c’est profond et magique.  

Remarque : dans les entiers non carrés parfaits on peut mettre $2$ elle s’il peut être dans les pointillés 😉
le reste je ne vois pas bien (problème de compilation —> des dollars à mieux gérer)

Lirone93

Oui, j'ai corrigé (y compris le $2$ manquant).

JLapin

Poirot a dit :

C'est moi ou le débat depuis le début concerne des choses aussi bêtes que $A \subset B \Rightarrow B^c \subset A^c$ ? On va où avec ça ?

Il traine encore ce genre d'affirmation tout de même...

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2473185/#Comment_2473185

Sneg

Permets-moi de te corriger à mon tour, @gerard0 : 
« Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut $\underline{\text{des}}$ nombres réels irrationnels. »
Ben non, tu n’es pas suffisamment précis. Car si tu ne prends que des nombres réels irrationnels calculables, tu n’arriveras à rien.

En effet, il y a eu une évolution dans les réactions que j’ai suscitées : 
- Au début, on m’a dit : « On ne comprend rien de ce que tu racontes. »
- Ensuite, on m’a dit : « On comprend enfin ce que tu veux dire, mais ce que tu dis est faux. »
- Maintenant, on me dit : « Ce que tu dis est tellement vrai que c’en est trivial. »

Pour savoir « où on va avec ça », @Dom et @Poirot, je reviendrai un autre jour, si Dieu me prête la vie et la vue.
Merci à vous.

Congru

Bon

JLapin a dit :

Poirot a dit :

C'est moi ou le débat depuis le début concerne des choses aussi bêtes que $A \subset B \Rightarrow B^c \subset A^c$ ? On va où avec ça ?

Il traine encore ce genre d'affirmation tout de même...

Bon, je n'ai rien lu du fil mis à part les commentaires que je cite, j'ai donc apporté une preuve à l'énoncé en question.

gerard0

Sneg,

encore une fois, le désir d'avoir raison te rend illogique et grammaticalement incorrect. Ta remarque sur l'utilisation de l'article indéfini "des" est idiote. C'est comme si je disais "pour faire une soupe à la carotte, il faut des carottes" et que tu me disais "c'est une erreur, puisque je ne te donnerai pas mes carottes".

Il y a effectivement une évolution dans les remarques puisque tes élucubrations du début ont cédé la place à des phrases que tu copies (donc correctes) et traduis tout de suite dans une forme malsaine, liée à ton obsession ("j'ai inventé la notion de nombre calculable toute seule") qui est bien sûr fausse : Tu ne sais pas ce qu'est un nombre calculable, tu confonds avec ce que tu racontais au début, mais tu emploies le mot pour cacher ton retour aux erreurs initiales !!

Sneg

Laissant gerard0 à ses propres élucubrations, je me tourne, comme je l'avais promis dans mon dernier message, vers la question "On va où avec ça ?" posée par @Poirot. Ma réponse va prendre ci-dessous la forme d'une mise en situation. J'y vais.

 

Les lycéens Numerius Negidius et Aulus Agerius sont en grande discussion mathématique dans un des couloirs de leur bahut.

Numerius : Tu te rends compte, Aulus ? J'ai appris dernièrement que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable, en ce sens que l'on ne peut pas le mettre en bijection avec $\mathbb{N}$, un peu comme si, c'est fou, cet ensemble infini des réels possédait davantage d'éléments que l'ensemble infini des entiers naturels 1, 2, 3, etc.

Aulus : Je le sais, Numerius. Cela a été démontré de façon irréfutable par le mathématicien Georg Cantor.

Numerius : C'est inimaginable ! Je n'arrive pas à y croire !

Aulus : Il n'est pas question de croire ou de ne pas croire. C'est une vérité mathématique, un point c'est tout ! Si tu as un problème avec ça, peut-être n'es-tu pas fait pour les mathématiques.

Là-dessus, Aulus s'en va, laissant Numerius pensif.

Arrive alors Tertius.

Tertius : Je n'ai pas pu m'empêcher, Numerius, d'entendre ta conversation avec Aulus et je vais te poser une question : As-tu déjà entendu parler des "nombres réels non calculables" ?

Numerius : Les nombres réels non calculables ? Kézako ?

Tertius : Pour une définition précise, je te laisse consulter internet. Je te dirai juste que, si tu ne connais pas ces nombres, c'est tout simplement parce que l'on ne nous a pas enseigné leur existence ni au collège ni au lycée. Pourquoi ? Peut-être, d'une part, parce que ce ne sont pas des nombres avec lesquels on calcule (difficile de calculer avec des nombres qui ne se calculent pas eux-mêmes) et, d'autre part, parce que ce ne sont pas des nombres qui apparaissent d'eux-mêmes au détour d'un calcul (sinon, ils seraient "calculables"). Bref, bien que ces nombres réels existent, les élèves de dix-huit ans que nous sommes ne les avons jamais vus de nos yeux nulle part. Mais, s'il n'y avait que cela ... 

Numerius : Il y a autre chose ?

Tertius : En effet. Tu dois savoir ceci : Si, de l'ensemble des réels, tu ôtes l'ensemble de ces étranges nombres réels non calculables, tu obtiens alors un ensemble tout ce qu'il y a de plus dénombrable. Plus généralement, tout ensemble non dénombrable de réels contient obligatoirement un ensemble non dénombrable de nombres réels non calculables.

Numerius : Attends, Tertius ! Es-tu en train de me dire que c'est cet ensemble de nombres étranges que sont les nombres réels non calculables qui confère à $\mathbb{R}$ cette non moins étrange propriété d'être non dénombrable ?

Tertius : À tout le moins, cher Numerius, contentons-nous de dire que le monde des nombres réels construit par les mathématiciens n'a - plus que certainement - rien à voir avec le monde des nombres réels que tu imagines. Dans ces conditions, ne viens pas t'étonner que les mathématiciens arrivent à des résultats (comme par exemple la preuve du caractère non dénombrable de $\mathbb{R}$) auxquels, toi, (sans les nombres réels non calculables, par exemple) tu ne peux pas arriver.

$$\fbox{Fin}$$

Un avis de mathématicien(ne) sur ce texte ?

Merci d'avance.

Médiat_Suprème

Comme on vous l'a déjà dit des centaines de fois : ce n'est pas faux, c'est trivial et sans intérêt, ce n'est pas spécifique des non calculables (on a donné des tas d'exemples et j'ajoute les non définissables)  cf. le théorème que j'ai cité.

Quant à faire porter la "responsabilité" la non-dénombrabilité de $\mathbb R$ aux uns plutôt qu'aux autres, dans un autre contexte, je trouverais cela sectaire.

gerard0

Ça devient ridicule ! Et le pire, c'est que Sneg serait bien en peine de définir précisément les nombres calculables. Quant à sa phrase "parce que ce ne sont pas des nombres avec lesquels on calcule (difficile de calculer avec des nombres qui ne se calculent pas eux-mêmes) ", totalement fausse puisqu'on calcule avec tous les nombres, elle montre la profondeur abyssale de son incompétence. Mais ça ne l'empêche pas de croire qu'elle a compris.

zeitnot

Supremus Mediatius et Maximus Gerardius ne sont pas convaincus !

biguine_equation

Et il n’est pas simple du tout de définir les nombres calculables ! Il y a des définitions plus ou moins intuitives. Ce fil de discussion fait 7 pages et je n’ai toujours pas compris ce qu’est un réel calculable. Peut-être que ce document a déjà été donné ici mais il y a un pdf de monsieur Rombaldi sur la question qui court sur internet et qui permet de se faire une idée sur le caractère problématique de certaines définitions.

biguine_equation

Récemment, j’ai appris que tout nombre réel (calculable ou pas) est somme de deux nombres de Cantor ! Encore des moments pénibles à l’horizon !

Médiat_Suprème

Parmi les exemples non encore donnés, il y a les nombres qui ne sont pas des périodes, qui sont très fun puisqu'on n'en connaît aucun (avec certitude), du moins à ma connaissance.

Pour calculable : 

Un nombre réel $\alpha$ est calculable s'il existe une machine de Turing qui, lorsqu'on lui donne un entier $n$ en entrée, se termine en un temps fini et donne la $n^{\text{ième}}$ décimale de $\alpha$.

D'autres définitions équivalentes : (et il y en a d'autres)

JLapin

@Sneg

Pourquoi Numerius est-il pensif et dubitatif après la preuve de Cantor et comme éclairé après un baratin qui ne démontre rien sur l'existence de nombres étranges ?

Ce devrait-être l'exact contraire. Ma suspension d'incrédulité ne fonctionne pas avec ton histoire, désolé.

À tout le moins, cher Numerius, contentons-nous de dire que le monde des nombres réels construit par les mathématiciens n'a - plus que certainement - rien à voir avec le monde des nombres réels que tu imagines.

Si comme n'importe quel collégien, Numerius se fait l'idée classique d'un nombre réel comme d'un nombre avec une partie entière et des chiffres après la virgule, il se fait déjà une très bonne idée de l'ensemble $\R$ construit par les mathématiciens.

On voit ensuite très rapidement (mais un peu après le collège tout de même) le caractère indénombrable : il suffit par exemple de prendre les nombres de la forme $0.d_1d_2......$ avec $d_k$ dans $\{0,1\}$.

Dom

« c'est cet ensemble de nombres étranges que sont les nombres réels non calculables qui confère à R cette non moins étrange propriété d'être non dénombrable »
Non. Ça ne les caractérise pas. 

Héhéhé

7 pages qui tournent en rond, @Sneg ne veut pas lire ce qu'on lui écrit, laissez tomber.

AlainLyon

@sneg La croyance en l'existence des réels non calculables étant philosophiquement équivalente à la croyance en l'existence de dieux est en France libre et affaire privée et, si j'ai bien compris le concept de laïcité à la française, il n'y a pas de cours de religion dans l'enseignement public français mais des cours d'histoire des religions sont envisageables dans l'enseignement public français, en conséquence de quoi un enseignement laïc des mathématiques en France doit faire la preuve logique de l'existence de nombres non calculables tout en en définissant le sens!

Foys

@AlainLyon dans ce message on considère certaines fonctions de $\N$ dans lui-même. On les appelle "fonctions de type $C$" pour éviter toute polémique (ou presque...).

I.1) on suppose qu'il existe une suite $n \mapsto f_n$ de fonctions de type $C$. Alors $n \mapsto 1+f_n(n)$ est-elle une fonction et est-elle de type $C$? 

II) on suppose que l'ensemble des fonctions de type $C$ est fini. 

II.1) Est-ce que toute partie finie non vide de $\N$ admet un plus grand élément?

II.2) Est-ce $n\in \N \mapsto 1 + \max\{f(n) \mid f \text{ est de type } C\}$ est bien défini? est-ce une fonction de type $C$?

III) l'ensemble des fonctions de type $C$ est-il vide? contient-il une suite? Commenter à la lumière de I) et II).

AlainLyon

@Foys La réponse à I.i) c'est que si on sait que  $f_n$ est de type $C$, on ne sais rien de $1+f_n$ puisqu'il faut au préalable s'accorder sur une définition explicite des fonctions de type $C$!