L’argument diagonal selon Wikipédia

AlainLyon

@Sneg On prouve que l'ensemble des nombres réels non calculables n'est pas dénombrable parce que son complémentaire : les nombres réels calculables est dénombrable. L'ensemble des réels étant l'union disjointe des réels calculables et non calculables si ces deux ensembles étaient simultanément dénombrables alors l'ensemble des réels le serait, or il ne l'est pas : il y a contradiction.

Sneg

Merci à tous pour vos messages.
Concentrons-nous sur le raisonnement que vous m'opposez.

"L'ensemble des réels, constitué des nombres réels décimaux et des nombres réels non décimaux, est non dénombrable.
Or, l'ensemble des nombres réels décimaux est dénombrable.
Donc, c'est l'ensemble des nombres réels non décimaux qui est non dénombrable."

En effet, présenté de cette façon-là, ce raisonnement, qui n'est pas faux, ne prouve pas grand-chose.
Mais il ne faut pas s'arrêter en si bon chemin. Il faut aller aller jusqu'au bout de ce raisonnement. Comme ceci : 
- L'ensemble des nombres réels décimaux, qui est dénombrable, est exclusivement fait de nombres réels calculables. J'appelle désormais cet ensemble $C_1$.
- L'ensemble des nombres réels non décimaux, qui est non dénombrable, est fait, d'une part, d'un ensemble dénombrable de nombres réels calculables, que je vais appeler $C_2$ (dans lequel on trouve par exemple $\pi$), et , d'autre part, de l'ensemble non dénombrable des nombres réels non calculables, que je vais appeler $NC$.
On a donc : 
$C_1 + (C_2+NC) = \mathbb{R} =$ ensemble non dénombrable.
$C_1 + C_2 + NC = \mathbb{R} =$ ensemble non dénombrable.
$C_1 + C_2 = \mathbb{R} - NC =$ ensemble dénombrable.

Ainsi, quand on prive $\mathbb{R}$ de $NC$, on obtient un ensemble dénombrable et quand on remet $NC$ dans les deux membres de la dernière égalité on obtient à nouveau $\mathbb{R}$, qui est non dénombrable.
Et on peut changer le mot "décimaux" par les mots "entiers", "rationnels", etc., le raisonnement que je viens de tenir, et qui complète celui de Dom, reste inchangé.
Ceci explique ma phrase : "L'ensemble des nombres réels non calculables est le seul et unique responsable du caractère non dénombrable de $\mathbb{R}$".

JLapin

En gros, tu sembles croire que toute partie dénombrable de $\R$ est incluse dans l'ensemble des nombres réels calculables. C'est évidemment faux.

Dom

Éventuellement, on peut s’intéresser aux sous-corps stricts de $\mathbb R$. 

Je sais que $\mathbb Q$ est le plus petit (au sens de l’inclusion, donc). 
Je sais que l’ensemble des calculables est un tel sous-corps.

Je ne sais pas s’ils sont tous inclus les uns dans les autres (je ne le pense pas mais l’intuition, surtout la mienne, fait défaut…). 

Je ne sais pas s’il en existe un plus grand que les autres (sans être égal à $\mathbb R$) et je pense (intuition !) que non. 

Ta quête, c’est peut-être celle-là… mais ça sort du sujet « procédé diagonal de Cantor ».

Un lien : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Sous-corps_exotique_de_R

AD

Bonjour Sneg

En gardant tes notations, je considère $NC'=NC\cup \{0\}$, puisque $0$ est calculable, on a $NC\subsetneq NC'$ et toujours $\mathbb R\setminus NC'$ dénombrable.

J'ai donc un ensemble $NC'$ strictement plus gros que $NC$ dont le complémentaire dans $\mathbb R$ est dénombrable.

Donc $NC'$ est "responsable" du caractère non dénombrable de $\mathbb R$. Donc $NC$ n'est pas l'unique "responsable".

AD

Foys

Le biais inconscient de @sneg est (à mon avis) le suivant.

On se dit "il faut rajouter beaucoup de choses (un nombre non dénombrable d'objets) pour construire un ensemble non dénombrable."

Dans la langue courante et dans les situations issues de la vie réelle (qui est finitiste) on rajoute des quantités finies de choses à d'autre. L'emploi de ce genre d'expressions pour les situations infinies des maths relève de l'abus de langage et est surtout une extrapolation d'intuitions finitistes à l'infini.

Revenons aux ensembles en se basant sur la définition formelle. Soit $X$ un ensemble. Laquelle des deux phrases suivantes "ajoute" quelque chose à son sujet ?

A1°) $X$ est dénombrable
A2°) $X$ n'est pas dénombrable ?

Réponse : non ce n'est pas la deuxième mais la première puisqu'elle dit qu'il existe une certaine fonction (bijective de $\N$ dans $X$; ou simplement surjective lorsqu'on définit dénombrable de sorte que cela équivalent à "au plus dénombrable").

En maths, A PRIORI, aucun ensemble n'est dénombrable (resp au plus dénombrable).
Naïvement on se dirait que l'énoncé A2 a plus de contenu positif que A1 puisqu'on "doit rajouter une grande quantité d'objets" alors que c'est l'inverse qui se produit.

Mon conseil (pour la millième fois, parce que je suis lourd et aigri comme chacun sait): faites une lecture formelle des maths, surtout si vous n'êtes pas assez à l'aise avec.

Médiat_Suprème

Pour donner quelques pistes à Dom.
Un sous-corps exotique est un sous-corps strict non dénombrable d'un corps non dénombrable donné, construit à l'aide du lemme de Zorn (donc de l'axiome du choix).
Nous ne nous intéresserons ici qu'aux sous-corps exotiques de $\mathbb R$, mais le principe fonctionnerait pour tous corps $\mathbb{K}$ de cardinal $|\mathbb{K}| > \aleph_0$.

Soit $\lambda \in \mathbb R \setminus\mathbb Q$  (D'une façon plus générale, un élément du corps n'appartenant pas à son corps premier.}, par exemple $\lambda = \sqrt{2}$, alors la famille des sous-corps de $\mathbb R$ ne contenant pas $\lambda$ est :

1) Non vide, puisque $\mathbb Q$ appartient à cette famille.

2) Partiellement ordonnée par l'inclusion.

3) Transitive (toute chaîne est majorée par son union)
Avec l'axiome du choix, la famille ci-dessus vérifie donc les conditions du lemme de Zorn, elle admet donc un élément maximal, que nous noterons 

$\R_\lambda$, et qui, évidemment, ne contient pas $\lambda$. 

$\forall x \in \mathbb R \setminus \R_\lambda$, $\lambda$ appartient à $\R_\lambda[x]$ (sinon $\R_\lambda$ ne serait pas maximal),

donc $\lambda = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes à coefficients dans $\R_\lambda$, ce qui peut aussi s'écrire :

$P(x) - \lambda Q(x) = 0$, ce qui montre que $x$ est algébrique sur $\R_\lambda$, et finalement que $\mathbb R$ est algébrique sur $\R_\lambda$ 

donc de même cardinal, ce qui montre que $\R_\lambda$ est non dénombrable. 

L'existence de sous-corps exotiques permet de démontrer le théorème suivant :

Théorème :  Tout corps dont tous les sous-corps propres sont dénombrables est dénombrable.

Sneg

Merci à tous pour vos commentaires, conseils et lien.
@AD. dans ton dernier message, tu reprends l'argument que m'a opposé @Dom quelques messages plus haut et auquel j'ai répondu dans mon message précédent.
Chez Dom, on partait de $\{ \text{réels décimaux} \}$ (ensemble dénombrable) $\cup$ $\{ \text{réels non décimaux} \}$ (ensemble non dénombrable) $= \mathbb{R}$.
(On notera, c'est important, que l'ensemble $\{ \text{réels non décimaux} \}$ contient l'ensemble $NC$ des nombres réels non calculables.)
Chez toi, AD, on part de $\{ \mathbb{R} \setminus  NC' \}$ (ensemble dénombrable) $\cup$ $\{ NC' \}$ (ensemble non dénombrable) $= \mathbb{R}$.
(Ici, c'est l'ensemble $NC'$ qui contient l'ensemble $NC$ des nombres réels non calculables puisque $NC' = NC \cup \{ 0 \}$, d'après ta définition.)

D'une façon générale (j'en ai montré un exemple dans mon message précédent), les égalités :
$\mathbb{R} = \{ \text{ensemble dénombrable}\} \cup \{\text{ensemble non dénombrable}\}$
ou
$\mathbb{R} = \{ \text{ensemble non dénombrable}\} \cup \{\text{ensemble non dénombrable}\}$ (les éléments formant $NC$ étant ici "dilués" dans deux ensembles.)
peuvent toujours être ramenées à :
$\mathbb{R} = \{ \text{ensemble dénombrable} \} \cup \{NC\}$ (les éléments formant $NC$ étant ici réunis de façon "compacte" dans un seul ensemble.)
où $NC$, l'ensemble non dénombrable des nombres réels non calculables, est le seul ensemble non dénombrable inclus dans $\mathbb{R}$
1) à ne pas contenir de sous-ensemble dénombrable,
2) et à être tel que $\mathbb{R} \setminus NC =$ un ensemble dénombrable.

Ce constat m'apparaît comme une preuve que c'est la présence dans $\mathbb{R}$ (de façon "diluée" ou "compacte") de l'ensemble non dénombrable $NC$ des nombres réels non calculables qui rend $\mathbb{R}$ non dénombrable.
Mais il m'apparaît encore plus évident que cette "preuve" ne convainc personne ici.

JLapin

où NC, l'ensemble non dénombrable des nombres réels non calculables, est le seul ensemble non dénombrable inclus dans R

1) à ne pas contenir de sous-ensemble dénombrable,

C'est complètement faux. Les singletons existent et toute partie infinie contient au moins une partie dénombrable.

gerard0

Non Sneg, tu n'as pas montré que nécessairement l'ensemble non dénombrable est celui des nombres non calculables. Et ça a été déjà montré, mais tu n'en as pas tenu compte. Je le redis : 

On considère l'ensemble $\N$ des entiers naturels, $a$ un réel non calculable (le nombre de Chaitin par exemple, et $M=a+\N=\{a+n \mid n\in \N\}$ des réels de la forme $a$ plus un entier naturel - tous non calculables. $\N$ et $M$ sont des ensembles dénombrables, donc $P=\N\cup M$ est dénombrable, et $\bar P=\R\setminus P$ est non dénombrable. Mais $\bar P$ ne contient pas l'ensemble des réels non calculable. Il manque tous les éléments de $M$.

Donc il serait temps de sortir de cette fixette sur "calculable/non calculable" qui te fait écrire des bêtises.

AlainLyon

@Sneg Cantor et Turing, qui par ailleurs travaillaient à deux époques différentes de l'histoire, ne se contredisent pas. On peut tenter une allégorie en se référant au monde d'aujourd'hui : Cantor suppose l'existence d'une machine qui en un par un calcule tous  les réels compris entre $0$ et $1$ en un temps petit mais non nul et prouve que même avec un temps infini elle n'y arrive pas si notre représentation mentale d'un temps continu qui s'écoule du passé vers le futur est juste, Turing construit la machine et on l'appellera plus tard ordinateur, de ordination d'un prêtre, les anglo-saxons choisissant plus ordinairement computer dont une traduction est calculateur car le comput est le calcul astronomique grâce auquel on détermine les fêtes mobiles catholiques !

Dom

Sneg, lis scrupuleusement le message de Gérard. Il construit un ensemble dénombrable de nombres NC. 

Sneg

Bonjour, et merci @Dom, @AlainLyon et @JLapin.

@gerard0, merci du conseil. 
Cela dit, si tu veux à tout prix me prouver que la distinction que je fais entre les nombres réels calculables et les nombres réels non calculables de Turing n'a strictement rien à voir avec la distinction entre les ensembles de réels infinis dénombrables et les ensembles de réels infinis non dénombrables de Cantor, il te faut prouver qu'il existe : 
1. un ensemble infini dénombrable de nombres réels calculables,
2. un ensemble infini dénombrable de nombres réels non calculables,
3. un ensemble infini non dénombrable de nombres réels non calculables,
4. un ensemble infini non dénombrable de nombres réels calculables.

C'est sur ce quatrième et dernier point que j'attends de toi une preuve.

Médiat_Suprème

Pour le 4 cela va être difficile, puisque impossible, les autres sont triviaux !

Dom

Les calculables sont dénombrables. Tu l’as dit toi-même. C’est étrange tout de même, de proposer ce « 4. ». 

Le « 3. », c’est ce qui semble te fasciner. Tu l’as. Ça devrait te suffire, non ? 

Le « 2. » a été donné en prenant $\mathbb N + \theta$ ou $\theta$ est non calculable. 

Le « 1. », les entiers, etc. jusqu’aux calculables.
C’est bizarre tu sais parfaitement que les calculables sont dénombrables alors ce « 1. » est une paraphrase de ce résultat, non ?

Éventuellement, ce que tu veux observer, c’est que si on a un ensemble infini non dénombrable de réels, alors il contient au moins un réel non calculable (et évidemment pas qu’un seul 🤣).
Ce qui t’embête, c’est qu’un tel ensemble ne contient pas forcément tous les non calculables. 

C’est comme ça. 

gerard0

Tes demandes :
1) Tu en as parlé; Ou tu ne sais pas ce que tu racontes
2) J'en ai donné un dans mon message. Lis !
3) Tu en as présenté un
4) Tu utilises depuis des mois le fait que l'ensemble des nombres calculables est dénombrable. Comme une partie d'un ensemble dénombrable est dénombrable, tu demandes l'impossible.

Finalement, tu ne fais pas des maths (sinon, par simple cohérence intellectuelle tu n'aurais pas écrit les 3 premiers cas), tu fais du baratin avec les mots des maths. Tu es toujours dans le refus incohérent des conclusions mathématiques.

gerard0

Et ce que tu as écrit est vrai :  la distinction que je fais entre les nombres réels calculables et les nombres réels non calculables de Turing n'a strictement rien à voir avec la distinction entre les ensembles de réels infinis dénombrables et les ensembles de réels infinis non dénombrables de Cantor.

Et on te l'a déjà prouvé, mais tu refuses de comprendre quand ça ne t'arrange pas. Tu es toujours dans le refus incohérent des conclusions mathématiques.

D'ailleurs les découvertes de Cantor n'ont historiquement rien à voir avec cette question de calculable/non calculable (apparue un siècle après), et ne concernaient même pas l'ensemble des réels.

Math Coss

- Je veux jouer au foot parmi les cadors.
- Es-tu sportif ? 
- Non et je m'en fous
- Connais-tu les règles  du foot ?
- Non et je m'en fous
- Il faut apprendre les règles du foot.
- Apprenez-moi.
- Au foot, il est interdit de toucher le ballon avec les mains.
- C'est quoi le ballon, c'est quoi les mains 

Karnaj

Et donc, on peut reprendre les arguments donnés précédemment avec, par exemple, les nombres rationnels à la place des nombres calculables.

Cela dit, si tu veux à tout prix me prouver que la distinction que je fais entre les nombres réels rationnels et les nombres réels non rationnels de Turing n'a strictement rien à voir avec la distinction entre les ensembles de réels infinis dénombrables et les ensembles de réels infinis non dénombrables de Cantor, il te faut prouver qu'il existe : 
1. un ensemble infini dénombrable de nombres réels rationnels,
2. un ensemble infini dénombrable de nombres réels non rationnels,
3. un ensemble infini non dénombrable de nombres réels non rationnels,
4. un ensemble infini non dénombrable de nombres réels rationnels.

C'est sur ce quatrième et dernier point que j'attends de toi une preuve.

J'ai mis en évidence les modifications. Vu que seule la preuve de ces 4 points (et en particulier du dernier) te fera accepter que la distinction que tu fais entre calculables/non calculables, pourquoi ce ne serait pas la même chose avec les rationnels/irrationnels ? Encore plus si on se dit que la réponse de Médiat_Suprème fonctionne aussi pour ce cas. Et si tu penses que c'est parce que les rationnels sont inclus dans les calculables, disons qu'on prend l'ensemble $\left\{x + k\mid k \in \mathbb{N}\right\}$ avec $x$ non calculable.

Médiat_Suprème

Pourtant, facile : le foot, c'est comme les échecs, mais sans les dés (Lukas Podolski)

zeitnot

Il en a dit des conneries Podolski, mais celle-ci est une blague pour se foutre de sa poire.

Médiat_Suprème

L'idée qu'un footballeur puisse avoir de l'humour est-elle si dérangeante ?

zeitnot

Aucunement, je ne vois pas le rapport.

Dom

Les NC sont inclus dans les Irrationnels. 

C’est en ce sens que cela crée quelque chose de spécial pour les NC. N’est-ce pas tout simplement cela, la fascination ?

un truc amusant : 
Je considère l’ensemble $A$ des réels non calculables dont l’écriture décimale (propre) ne contient que des 0 ou des 1 comme « 11,00101 » par exemple (certes c’est un calculable celui-là…). Autrement dit, si l’un des chiffres est 2,3,4,5,6,7,8 ou 9, on le retire et n’est pas dans $A$. 

Soit $a$ l’un de ces nombres, on considère son écriture décimale comme l’écriture d’un réel $\bar{a}$ en binaire. On obtient ainsi un ensemble $\bar{A}=\{\bar{a}, a\in A \}$. 

Il me semble qu’on obtient un ensemble encore plus petit au sens de l’inclusion et qui est indénombrable (par contre son complémentaire est aussi indénombrable). 

On peut (c’est cela qui m’amuse) réitérer le procédé, et je ne sais pas ce que cela donne. Notamment :
1) a-t-on des réels $a$ tels que $a=\bar{a}$ (oui avec 0 ou 1 par exemple mais avec un non calculable…) ?
2) a-t-on un ensemble limite en itérant indéfiniment ?
3) peut-être même qu’après la première opération… il n’y a plus de réels avec QUE des 0 et 1 de sorte qu’il n’y a pas à itérer le procédé. 

Peut-être qu’il vaut mieux noter $A$ l’ensemble des réels dont l’écriture décimale ne contient que des 0 et/ou 1 puis faire l’intersection avec les NC au lieu de nommer tout de suite $A$ cet ensemble.

gerard0

Bonsoir Dom.

" N’est-ce pas tout simplement cela, la fascination ?"

En fait la fascination de Sneg pour les non constructibles vient du fait qu'elle croit les avoir inventés seule, alors qu'on a fini par donner ce nom aux nombres dont elle parlait pour refuser la preuve diagonale. Mais ce dont elle parlait restait flou, elle mélangeait un peu tout. Quand on a écrit le mot, elle s'est jetée dessus comme la misère sur le pauvre monde, et depuis, c'est pour elle un mot magique. Et elle croit que non constructible  veut automatiquement dire indénombrable. Alors qu'un ensemble de trois nombres inconstructibles est un ensemble bêtement fini, à 3 éléments.

Cordialement.

AlainLyon

@sneg Il faut s'entendre sur le terme réel "calculable" : est-ce  par un algorithme impératif  qui manipule un nombre fini de symboles?

raoul.S

Tiens @Sneg , histoire de voir où en est ta compréhension de tout ça voici une question pour toi : les réels calculables compris entre $0$ et $1$ ($1$ exclu) sont dénombrables, on peut donc les numéroter et les disposer dans un tableau comme ceci : 
$$\begin{array}\\
0.a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}...\\
0.a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}...\\
0.a_{3,1}a_{3,2}a_{3,3}...
\end{array}$$
où la première ligne est constituée du développement décimal propre du premier nombre non calculable, la deuxième ligne du développement décimal propre du deuxième nombre non calculable et ainsi de suite.

Question : est-ce que le nombre réel formant la diagonale $0.a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}...$ est calculable ?

Edit : suppression du "non" qui est une coquille

Sneg

Au moins, nous sommes d’accord sur les deux points suivants (et c’est tant mieux, on va pouvoir avancer) : 
1) Il n’existe pas d’ensemble non dénombrable de nombres réels calculables.
2) Il existe des ensembles non dénombrables de nombres réels non calculables.
Sur base de ces deux points, je demande ici si l’on peut en conclure que : 
$$\textit{Sans les nombres réels non calculables, il n’existe pas d’ensembles de réels non dénombrables.}$$
autrement dit :
$$\textit{L’existence des ensembles de réels non dénombrables implique l’existence des nombres réels non calculables.}$$
Merci d’avance.

Dom

Sont-ce des assertions mathématiques ou philosophiques ?

On va redire ce qui a déjà été répété mille fois. 

Remplace « calculable » par « rationnel » et « non calculable » par « irrationnel » et tu obtiens les mêmes conclusions. 

Sneg

@Dom,
pour un instant seulement, pourrais-tu remplacer ton vocabulaire par le mien et me dire si le résultat que tu obtiens est vrai ou faux ?

gerard0

Bonjour.
La première phrase en italique peut être retraduite en une propriété mathématique évidente, car conséquence immédiate de la dénombrabilité de l'ensemble des calculables : tout ensemble de réels qui est non dénombrable contient des réels non calculables.

La deuxième phrase en italique n'a pas de sens mathématique, et reprend la lubie habituelle de Sneg à propos des réels non calculables.

C'est triste de faire une fixation mentale sur une notion purement théorique !

Médiat_Suprème

On peut enfiler les remarques vraies, mais sans le moindre intérêt, sans fin (il en existe un nombre dénombrable)
Tout ensemble non dénombrable de réels contient des nombres qui ne sont pas solutions d'une équation du second degré.
Tout ensemble non dénombrable de réels contient des nombres qui ne sont pas solutions d'une équation du troisième degré.
etc.

Dom

Sneg,
Ton erreur est de focaliser et de dire « j’en déduis ». 

En retour je te dis que tu peux « en déduire » les mêmes choses avec d’autres concepts. 

Tu cherches à caractériser les non calculables et tu n’y parviens pas. J’ai rédigé un message qui tente d’expliquer ta fascination. 

Moi, je n’y peux rien.  

Sneg

@Dom, quand "j'en déduis que ... ", je soumets toujours mon résultat à l'avis des mathématiciens. Je n'affirme rien, je pose des questions. C'est tout. Cette fois-ci, ce sera encore le cas.

Si vous le voulez bien, poursuivons sur notre lancée à partir de l'affirmation : 

$$\textit{Sans les nombres réels non calculables, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.}$$

puisque, à ma grande surprise, cette affirmation semble être approuvée tant par @gerard0 que par @Médiat_Suprème, deux intervenants que j'ai plutôt l'habitude de voir s'opposer catégoriquement à ce que j'écris sur ce forum. Profitons de ce consensus probablement passager.

Certains diront que l'ensemble des irrationnels est déjà non dénombrable et que, donc, il n'y a rien d'étonnant à ce que $\mathbb{R}$, qui contient l'ensemble des irrationnels, soit non dénombrable à son tour. Point !

Je ne dis pas non. Mais il se fait que l'ensemble $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ des irrationnels contient lui-même l'ensemble des nombres réels non calculables et que ce dernier ensemble est non dénombrable. Je dirais même plus : "Sans les nombres réels non calculables, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable". Autrement dit, l'ensemble des irrationnels privé de l'ensemble des nombres réels non calculables est un ensemble dénombrable, tout comme l'ensemble $\mathbb{R}$ privé de l'ensemble des nombres réels non calculables est un ensemble dénombrable également.
C'est ce qui me conduit au chapelet d'implications suivant (pour $NC=$ l'ensemble des nombres réels non calculables) :

Vu que $NC \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$,

on a

$NC$ non dénombrable $\Rightarrow \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ non dénombrable $\Rightarrow \mathbb{R}$ non dénombrable.

Que penser de ces implications ?

gerard0

Tricheuse !!

On te donne un résultat mathématique, qui retraduit ta phrase en termes mathématiques, tu reprends ta phrase floue au lieu de prendre ce qui est vrai !!

Je le répète, tu fais une fixette psychologique sur les nombres non calculables, mais ils ne créent pas plus l'indénombrabilité que les irrationnels ou d'autres parties des nombres. Par exemple les irrationnels compris entre 0 et 0,000000000000001. Ils forment un ensemble non dénombrable $A$ et quasiment tous les non calculables n'en font pas partie.

Mais je ne dirais pas que "sans les irrationnels compris entre 0 et 0,000000000000001 il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrables".

Et on a encore $A \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ et tu peux aussi remplacer $NC$ par $A$ dans la suite.

Il faut arrêter ce délire !!

JLapin

Que penser de ces implications ?

Elles sont vraies, comme elles le sont aussi si $NC$ désigne n'importe quelle partie indénombrable des irrationnels.
Tu es finalement revenu sur ce message sinon ?
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2473185/#Comment_2473185

Médiat_Suprème

Ce que vous dites de vrai sur les non calculables, et qui est trivial, c'est-à-dire sans intérêt, peut se dire de tous sous-ensembles d'un ensemble non dénombrables de complémentaire dénombrable ce qui n'est qu'un cas particulier de :
Théorème (ZFC*) : soit $\kappa$ un cardinal et $x$ un ensemble de cardinal $\kappa$, c'est-à-dire  $|x| = \kappa$, soit $y\subset x$  =tel que $|x \setminus y| < \kappa$ alors $\forall z (((z\subset x)\wedge (|z| = \kappa)) \Rightarrow z\cap y \neq \emptyset$)

Ce théorème est tellement trivial et tellement sans intérêt qu'il n'a pas de nom et n'a jamais été publié.

* Avec AC pour avoir une définition sympa de "cardinal"

Dom

$\{réels \, non \, calculables\} \subset \{réels \, irrationnels \}$
C’est tout.  

Sneg

Pardonnez-moi d’insister, @Dom, @Médiat_Suprème, @JLapin et @gerard0 , mais je dois en avoir le cœur net.
Validez-vous l’affirmation suivante ? : 
$$\text{Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable de réels non calculables.}$$
Merci.

Dom

Oui. C’est vrai. Et c’est une assertion mathématique rédigée en français. 

Médiat_Suprème

Comme déjà dit, c'est juste un cas particulier du théorème général que j'ai cité ci-dessus (que l'on peut préciser un peu) !

Théorème (ZFC*) : soit $\kappa$ un cardinal et $x$ un ensemble de cardinal $\kappa$, c'est-à-dire  $|x| = \kappa$, soit $y\subset x$  =tel que $|x \setminus y| < \kappa$ alors $\forall z (((z\subset x)\wedge (|z| = \kappa)) \Rightarrow |z\cap y| = \kappa$)
Mais cela ne marche plus pour les cardinaux finis

gerard0

Quelques évidences : 

Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable de réels non calculables.

Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable de réels irrationnels.

Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable de réels transcendants.

et même

Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable de réels non entiers.

Tout ensemble non dénombrable de réels contient un ensemble non dénombrable d'irrationnels supérieurs à 7.

Etc.

Mais c'est tricher d'en déduire les phrases non mathématiques suivantes : 

Sans les nombres réels non calculables, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.

Sans les nombres réels irrationnels, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.

Sans les nombres réels transcendants, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.

Sans les nombres réels non entiers, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.

Sans les irrationnels supérieurs à 7, il n'existe pas d'ensemble de réels non dénombrable.

Car ces phrases peuvent signifier tout autre chose que les phrases mathématiques correspondantes.

Sneg

@Dom, @Médiat_Suprème, @gerard0, à tous et toutes,
Êtes-vous aussi d’accord avec l’affirmation suivante ? : 
« L’ensemble non dénombrable des réels contient l’ensemble non dénombrable des irrationnels qui, lui-même, contient l’ensemble non dénombrable des nombres réels non calculables. »
Merci.

Dom

Oui. Là encore c’est juste et cela a déjà été dit. 

Notamment ici : ce n’est pas très loin dans la discussion. 

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2475128/#Comment_2475128

Médiat_Suprème

 L’ensemble non dénombrable des réels contient l’ensemble non dénombrable des irrationnels qui, lui-même, contient l’ensemble non dénombrable des nombres réels non calculables qui contient l’ensemble non dénombrable des réels non calculables strictement compris entre 0 et 1 qui contient l’ensemble non dénombrable des réels non calculables strictement compris entre 0 et 1 dont la première décimale est 2 qui contient ....

Sneg

Merci, @Dom.

C’est bien ça, @Médiat_Suprème, je ne te le fais pas dire : Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut les nombres réels non calculables.
Et l’on me dira encore qu’il n’y a aucun lien entre les ensembles non dénombrables de réels et les nombres réels non calculables.

Poirot

C'est moi ou le débat depuis le début concerne des choses aussi bêtes que $A \subset B \Rightarrow B^c \subset A^c$ ? On va où avec ça ?

Dom

Au début, c’était une incompréhension de l’argument diagonal.
Ensuite on s’est caché derrière « nombre parfaitement déterminé » et « c’est pas de moi, c’est Cantor qui l’a dit ». 

Puis on s’est raccroché aux branches « je voulais dire non calculables mais je ne savais pas que cela existait, c’est donc ça que j’avais découvert tout seul ».  

Quant au contenu mathématique, oui, c’est juste une inclusion. 

Mais la prose revient vite « donc on peut bien dire que mes nombres sont indispensables pour avoir un ensemble indénombrable ». 

gerard0

Ben ... c'est bêtement que les non calculables forment un ensemble non dénombrable. Mais, encore une fois (il n'y a pire sourdes que celles qui ne veulent pas entendre), on peut dire la même chose en remplaçant non calculables par irrationnels, ou par transcendants.

Une faute de français grossière : "Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut les nombres réels non calculables" (ils ne sont pas tous nécessaires, voir les exemples de Médiat).

Je rectifie : 

Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut des nombres réels non calculables

mais aussi

Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut des nombres réels irrationnels

Pour avoir un ensemble non dénombrable de réels, il te faut des nombres réels transcendants

Et bizarrement, tu ne retiens que la première des trois phrases (toujours cette fixation pathologique) ce qui fait que ta phrase "... on me dira encore qu’il n’y a aucun lien entre les ensembles non dénombrables de réels et les nombres réels non calculables" prend un sens métaphysique, quasiment magique, que n'ont pas les phrases mathématiques.

Lirone93

Ceci est-il exact ? : 
- $\{8429,\ 46743, 42589\}$ : dénombrable (fini)
- $\{0,\ 2,\ 4,\ 6,\ \dots\}$ (les naturels pairs) : dénombrable
- l'ensemble $a$ des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits $a=\{2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ \dots\}$ : dénombrable
- $b=\{p^3 \text{ où p parcourt l'ensemble des nombres premiers}\}=\{8,\ 27,\ 125,\ 343,\ \dots\}$ : dénombrable
Mais aussi ces ensembles : 
- l'ensemble $A$ des parties de l'ensemble des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, soit l'ensemble des parties de $a$ (défini avant) : indénombrable
- l'ensemble $B$ des parties de $b$ (défini avant) : indénombrable

Par exemple, on peut dire que (si je ne me trompe pas) :
$b \subset a \subset A$ et donc que $b \subset A$, ainsi que
$B \subset A$ et donc $b \subset B \subset A$.

Dans ce cas, on voit bien qu'on peut « se poser » des questions portant sur des ensembles indénombrables sans même avoir besoin de parler de calculabilité.