L’argument diagonal selon Wikipédia

raoul.S

@Sneg pour la n-ième fois : l'argument diagonal utilisé pour démontrer la non-dénombrabilité de $\R$ n'a rien à voir avec la notion de calculabilité. Tu mélanges tout.

Supposer qu'il existe une bijection entre $\N$ et $[0,1[$ c'est exactement la même chose que supposer qu'il existe ton fameux tableau $T$ qui liste les nombres appartenant à $[0,1[$, ou plus formellement qu'il existe une application $f:\N\times \N\to [\![0,9]\!]$ qui à $(n,m)$ associe la m-ième décimale "du n-ième" nombre réel de $[0,1[$.

Math Coss

Mince, j'avais ka solution bête de @JLapin mais he ne comprends pas l'indication de @Médiat_Suprème.

JLapin

Il y a une infinité indénombrable de réels avec un zéro une fois sur deux et seulement une infinité dénombrable de réels calculables.

Médiat_Suprème

Avec une bonne définition de "autant" on peut dire qu'avec cette solution, on obtient des non calculables qui ont au moins autant de décimales calculables que de non calculables, on peut faire la même chose avec des non calculables qui ont "infiniment plus" de décimales calculables que de non calculables.

Sneg

Résumons : 
1) Je définis des objets mathématiques avec lesquels je vais travailler.
2) J’applique sur ces objets un raisonnement (voir mon message précédent).
Je m’attends à ce qu’on critique mes définitions ou mon raisonnement.
Visiblement, déjà rien que mes définitions ne passent pas. Dommage.

Merci à tous, même à ceux à qui j’ai eu l’impolitesse de ne pas répondre nommément, d’avoir consacré du temps à ce fil, c’est très gentil à vous. Personnellement, je n’ai plus le temps de continuer.

@raoul.S : J’ai bien conscience que ma démarche ne suit pas le sentier de la théorie officielle, qui ne fait aucune distinction entre les nombres réels calculables et les nombres réels non calculables dans l’argument diagonal. Malgré les apparences, je reste suffisamment lucide pour le savoir. Pardon de t’avoir entraîné sur des chemins qui ne t’enchantent pas.

Sneg

@JLapin, avec un peu de retard, je réponds à ta question qui disait : "Peux-tu clarifier ce que tu cherches à nous dire ?"
L'idée que tu vas trouver ci-dessous est la même que celle que j'ai déjà émise il y a un an. D'où, la réaction de @AD dès le premier message de ce fil.

La différence avec l'année dernière, c'est que j'introduis désormais les concepts officiels de "nombres réels calculables" et "nombres réels non calculables" en remplacement de mes "nombres parfaitement déterminés" et "nombres non parfaitement déterminés" qui, à l'époque, avaient laissé mes correspondants plus que perplexes.
Je rappelle que je ne prends en considération dans le texte qui suit que l'argument diagonal tel qu'il est expliqué au grand public, à savoir ceci  

Un tableau $T$ affiche l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à l'intervalle $[0, 1[$, ces nombres étant écrits horizontalement l'un en-dessous de l'autre sous forme de développement décimal illimité. Au moyen de ce tableau, il est possible de créer un nombre réel qui appartient lui aussi à l'intervalle $[0, 1[$ mais n'appartient pas à l'ensemble des réels affichés horizontalement par le tableau $T$. D'où, contradiction. Etc.

Je ne t'apprends rien. Je suis juste en train de pointer du doigt le fait que, dans cette démonstration telle qu'elle est présentée au grand public, il s'agit d'écrire des nombres réels sous forme de développement décimal illimité.

Que pense de tout cela mon personnage d'Alice apparu l'année dernière ?

Pour Alice, le fait d'écrire un nombre réel sous forme de développement décimal illimité exige de pouvoir calculer ce réel. C'est bien sûr ici que l'idée d'Alice diffère de la théorie officielle.
Voici les résultats qu'elle obtient, au regard de la théorie des "nombres réels calculables" :

Si le fait d'écrire un nombre réel sous forme de développement décimal illimité exige de pouvoir calculer ce réel, alors dans l'argument diagonal les seuls nombres réels de l'intervalle $[0, 1[$ à pouvoir figurer horizontalement dans le tableau $T$ - autrement dit, les seuls nombres réels à pouvoir être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ - sont les nombres réels calculables.
Quant aux nombres réels non calculables appartenant à l'intervalle $[0, 1[$, ils apparaissent en diagonale dans le tableau $T$ sans que cela n'étonne personne.

En résumé, pour Alice : 

$1.$ dans le tableau $T$ :
- les nombres réels calculables de l'intervalle $[0, 1[$ doivent apparaître horizontalement. C'est bien le cas.
- les nombres réels non calculables de l'intervalle $[0, 1[$ ne peuvent apparaître qu'en diagonale. C'est bien le cas aussi.
$2.$ l'argument diagonal ne prouve pas que l'intervalle des réels $[0, 1[$ soit non dénombrable. Pour cela, il faut encore établir que l'ensemble des nombres réels non calculables appartenant à l'intervalle $[0, 1[$ est non dénombrable. A ce propos, l'argument diagonal tel qu'il est présenté au grand public ne peut pas s'appliquer à cet ensemble de nombres puisque, pour pouvoir écrire ces réels sous forme de développement décimal illimité il faudrait pouvoir les calculer, ce qui n'est pas le cas, par définition même des nombres réels non calculables.

Voilà, @JLapin. Toutes mes autres idées proposées dans ce fil (l'infini actuel, ...) visaient à remplacer d'une façon ou d'une autre l'idée d'Alice, mais elles ont été rejetées.

Merci à @AD d'avoir accepté que je revienne sur cette histoire.

Dom

C’est fou ça. 

L’argument ne dit pas qu’on calcule ou pas. 

C’est un théorème d’existence.
Si ton tableau contient des nombres (liste disons verticale), alors le nombre diagonal n’est pas dans le tableau. 

Point.

L’expression « argument diagonal de Cantor » désigne le fait qu’on trouve un nombre qui n’est pas dans la liste de départ. 
Ensuite, on s’interroge sur la nature de ce nombre, mais c’est autre chose. 

Médiat_Suprème

Est-ce que la fonction : 
$\mathbb R \to \mathbb R\\
x\mapsto x^2$
existe (au sens mathématique) ?
Même pour les nombres non calculables ?

gerard0

Sneg,
il serait temps de te rendre compte que les mathématiques ne parlent pas de choses concrètes, que le raisonnement que tu attribues à Cantor (il ne l'a jamais fait ! Il a parlé d'autre chose) ne parle pas d'un tableau concret, mais d'une suite d'objets abstraits (les nombres réels), tellement abstraits qu'à les fréquenter sérieusement (dans l'abstrait), on a constamment des surprises.

Ton erreur basique est de croire qu'il ne peut y avoir dans le tableau que des nombres calculables (parce que tu les veux concrètement). En fait on n'en a pas besoin. Pour le premier, on n'a besoin que de savoir calculer la première décimale, pas qu'il soit calculable; pour le deuxième, on n'a besoin que de savoir calculer la deuxième décimale, pas qu'il soit calculable; pour le troisième, on n'a besoin que de savoir calculer la troisième décimale, pas qu'il soit calculable; pour ...

Dès le début, GaBuZoMeu t'avait répondu cela, mais comme tu tiens à ton tableau tout fait et connu concrètement, tu n'as jamais accepté de penser ainsi. Dommage.

Math Coss

Une autre erreur consiste à penser qu'il est nécessaire de connaître toutes les décimales de tous les réels énumérés pour appliquer l'argument alors qu'il suffit de connaître une décimale (bien placée) de chacun.
Un autre élément désagréable est cette incapacité à lire, ou du moins à intégrer ce qui est écrit, ou du moins à pointer les points d'incompréhension ( tout se passe comme si ce qui n'est pas compris n'a pas été lu). En l'espèce, comme l'a pointé @raoul.S, l'argument diagonal démontre entre autres qu'il est impossible de calculer une liste exhaustive des réels calculables, bien qu'ils forment un ensemble dénombrable. 

Dom

Oui ça tourne en rond ou plutôt ça n’avance pas. Ça n’a pas avancé. 

Un exemple encore plus simple est « supposons une suite de réels ». On se fiche de comment elle est faite. C’est comme ça. On l’a sur notre papier, dans notre raisonnement. 

Puis « supposons une suite de réels non calculables ». Idem. On l’a. 

En effet, Gérard, c’est ça le point clé : on dispose d’un objet abstrait. Et c’est seulement ça qui bloque sneg je pense. 

Foys

Quand on prend un tableau concret et qu'on applique l'algorithme défini dans la page wiki de l'argument diagonal, on obtient une suite concrète qui n'est pas dans le tableau. Si le tableau est fini, la suite est finie. Ensuite, il existe une notion mathématique bien définie de "fonction calculable".

gerard0

Euh ... un tableau concret est forcément fini.

Dom

Ça je ne sais pas. 

Une suite d’entiers, c’est concret ou pas ?
Pour moi oui.

L’adjectif « concret », je pense qu’il dépend de celui qui l’utilise. 

gerard0

A partir du moment où on ne peut pas tout écrire, l'aspect concret est perdu. Je parle évidemment du concret de la présentation, les nombres étant par nature abstraits. Mais c'est apparemment ce que voudrait Sneg.
Cordialement.

Foys

Je veux dire que le débat abstrait/concret sort en fait de la problématique de l'argument diagonal (et implique d'autres problèmes comme par exemple "quel est le plus petit nombre non concret?"; les mathématiciens n'étudient pas les nombres "abstraits" ou "concrets", mais les nombres et les diverses théories qui en parlent).

gerard0

On est bien d'accord, mais il faut répondre à Sneg.
Cordialement. 

PetitLutinMalicieux

Sneg, je n'ai pas tout lu mais il a déjà été dit, il y a plusieurs pages, que le tableau $T$ n'existait pas. Le faux implique le vrai ou le faux. Si tu pars d'un objet n'existant pas, la conclusion sera vraie ou fausse ou aléatoire. La discussion va finir en shtam.

$T$ n'existe pas. (Précisément car les réels sont indénombrables, d'ailleurs)

Dom

Et même si quelque chose n’existe pas on a le droit de travailler avec « SI » ça existait.

Exemple :
Si trois entiers naturels $a$, $b$ et $c$ supérieurs à $100$ sont tels que $a^{17}+b^{17}=c^{17}$ et que $c$ est pair, alors en faisant des maths on en déduit que $a$ et $b$ sont de même parité. 

Mais en effet faut-il peut-être attendre que sneg réagisse avant de poursuivre. 

zeitnot

" mais il faut répondre à Sneg. "... qui n'a aucune envie de réellement écouter les réponses. Il creuse son sillon et mène son monde par le bout du nez depuis bien longtemps.

PetitLutinMalicieux

Dom, toi aussi, tu vas finir dans shtam. L'ensemble vide a toutes les propriétés. Tu peux bien supposer ce que tu veux, c'est juste que ta conclusion n'a aucune valeur. Si $T$ existait, alors il n'existerait pas. Merci du voyage.

Dom

Tu fais une erreur je pense. 

La démonstration du petit théorème, comment crois tu qu’elle démarre ?
Je pense que ce qui bloque l’auteur ici c’est de cet ordre. Il a du mal avec « si T existe ». Donc il ne peut même pas attaquer un quelconque « alors ». 

Ladite conclusion est juste ici un enchaînement de rudiments de maths. Donc qu’elle ait de la valeur ou pas, les règles de maths ont été utilisées légalement. 

JLapin

Sneg a écrit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2421863/#Comment_2421863
A ce propos, l'argument diagonal tel qu'il est présenté au grand public ne peut pas s'appliquer à cet ensemble de nombres puisque, pour pouvoir écrire ces réels sous forme de développement décimal illimité il faudrait pouvoir les calculer, ce qui n'est pas le cas, par définition même des nombres réels non calculables.

La fonction qui à un réel $x\in [0,1[$ associe la suite $(\lfloor 10^n x\rfloor - 10\lfloor 10^{n-1} x\rfloor)_{n\geq 1}$ n'a aucun problème de bonne définition, que $x$ soit "calculable" au sens de n'importe qui, ou non.

raoul.S

@Sneg d'ailleurs comme l'a répété Math Coss ICI, tu peux te rendre compte que le point de vue d'Alice est foireux. En effet Alice dit : Sneg a dit :

En résumé, pour Alice : 

$1.$ dans le tableau $T$ :
- les nombres réels calculables de l'intervalle $[0, 1[$ doivent apparaître horizontalement. C'est bien le cas.
- les nombres réels non calculables de l'intervalle $[0, 1[$ ne peuvent apparaître qu'en diagonale. C'est bien le cas aussi.
$2.$ ...

Voici pourquoi le point de vue d'Alice n'est pas bon : soit donc $T$ un tableau contenant horizontalement la totalité des réels calculables. On applique l'argument diagonal et on obtient un réel, nommons-le $x$ qui n'est pas dans ce tableau, donc $x$ n'est pas calculable. Pourtant on vient de calculer $x$ grâce au tableau $T$.

En fait le raisonnement ci-dessus n'est pas un paradoxe, c'est une "démonstration" du fait qu'on ne peut pas calculer une liste de nombres réels calculables. En gros le tableau $T$ d'Alice n'est pas calculable, voici pourquoi $x$ n'est pas calculable.

Donc Alice ne supporte pas de considérer des tableaux de réels non calculables mais elle n'a aucun scrupule de considérer dans son raisonnement un tableau non calculable... bref Alice n'est pas très cohérente...

Sneg

Bonjour, @Dom, @Médiat_Suprème, @gerard0, @Math Coss, @Foys, @PetitLutinMalicieux, @zeitnot, @JLapin, @raoul.S.

Je réponds enfin à vos derniers messages.

$\bullet$ Dom, tu as écrit : "ça tourne en rond ou plutôt ça n'avance pas". Ton constat est un peu dur.

C'est sans doute très prétentieux de ma part, pardon d'avance, mais je rappelle quand même que : 

- j'ai pressenti l'existence des nombres réels calculables et des nombres réels non calculables ; et cela s'est révélé exact.

- j'ai pressenti la dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels calculables et la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels non calculables ; et cela s'est révélé exact également. (Ce résultat s'explique facilement par le fait que le bidouillage de la diagonale du tableau $T_1$ des nombres réels calculables ainsi que le bidouillage de la diagonale du tableau $T_2$ des nombres réels non calculables ont pour même effet de produire un nombre réel non calculable.)

Vous saviez peut-être déjà tout cela mais, comme mes pressentiments laissaient tout le monde ici dubitatif, il a effectivement bien fallu que je "creuse mon sillon" moi-même (voir le dernier message de "zeitnot", sûrement amateur du jeu d'échecs avec un pareil pseudo et une photo de Capablanca).

Afin de continuer à avancer sans tourner en rond, si quelqu'un peut m'orienter vers des articles concernant ces nombres réels non calculables, je l'en remercie d'avance.

Cela dit, j'ai encore d'autres pressentiments . Comme celui-ci :  

"Le bidouillage de la diagonale du tableau $T$ de n'importe quel ensemble infini de réels génère un nombre réel non calculable."

Si ce pressentiment se révèle encore une fois exact, alors on disposera à peu de frais d'une autre preuve de la dénombrabilité de l'ensemble $\mathbb{Q}$, vu que chaque élément de $\mathbb{Q}$ est un nombre réel calculable.

$\bullet$ Dans ton dernier message, raoul.S, tu t'es attaché à démontrer que le point de vue d'Alice n'est pas bon. Je ne suis pas d'accord avec ton argument.

Ce que tu as écrit dans ton message précédent, c'est comme si tu écrivais : "Soit donc $T$ un tableau contenant horizontalement la totalité des réels. On applique l'argument diagonal et on obtient une suite de décimales, nommons-la $x$, qui n'est pas dans ce tableau, donc $x$ n'est pas un réel."

Autrement dit, dans ton message précédent, la raison correcte pour laquelle ton $x$ n'est pas un nombre réel calculable n'est pas celle que tu donnes. Cette raison correcte, on peut la trouver sur la page Wikipédia intitulée "Nombre réel calculable" ou bien ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2421019/#Comment_2421019

Dans le même ordre d'idée, sur cette même page Wikipédia intitulée "Nombre réel calculable", on peut lire que "l'ensemble des réels calculables est un corps dénombrable". Autrement dit, tout réel certes "calculé" à partir de la diagonale du tableau $T$ est néanmoins un réel "non calculable". C'est bien ce que j'ai écrit dans mon message précédent. En résumé : 

- Le tableau $T$ d'Alice existe bel et bien : c'est l'ensemble infini dénombrable des nombres réels calculables.

- Quant aux nombres réels non calculables, la diagonale du tableau $T$ d'Alice permet de mettre en évidence leur existence, (sans que cela n'intéresse personne dans le monde d'Alice, vu que là-bas on ne s'intéresse qu'aux nombres réels calculables).

$\bullet$ Dernier point, qui risque de fâcher.

En définitive, je vois les choses de la façon suivante :

- Soit on décide (acte volontaire) d'écrire tant les nombres réels calculables que les nombres réels non calculables. Dans ce cas, on peut entrer dans le monde de Cantor.

- Soit on décide (acte volontaire) de n'écrire que les nombres réels calculables. Dans ce cas, on entre dans le monde d'Alice.

Si le monde d'Alice est cohérent, pourquoi le rejeter ?

Merci à vous.

raoul.S

Sneg a dit : 

Autrement dit, dans ton message précédent, la raison correcte pour laquelle ton $x$ n'est pas un nombre réel calculable n'est pas celle que tu donnes. Cette raison correcte, on peut la trouver sur la page Wikipédia intitulée "Nombre réel calculable" ou bien ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2421019/#Comment_2421019

Tu as mal compris mon dernier message @Sneg, car ce que je dis c'est exactement ce que tu cites ICI.

Ce que j'essaie de te faire remarquer c'est que le point de vue d'Alice n'est pas cohérent. Pourquoi ? Parce que d'un côté Alice ne conçoit pas de considérer des nombres réels non calculables lorsqu'elle utilise son argument avec la tableau $T$, pour elle dès que l'on considère un tableau $T$ de réels, ils doivent tous êtres calculables. Mais d'un autre côté le lien que tu cites dit que le tableau $T$ des réels calculables n'est pas calculable. Et en contradiction avec son credo, Alice n'a aucun problème à considérer ce tableau des réels calculables... comment l'a-t-elle obtenu ce tableau s'il n'est pas calculable ?

Sneg a dit :

Afin de continuer à avancer sans tourner en rond, si quelqu'un peut m'orienter vers des articles concernant ces nombres réels non calculables, je l'en remercie d'avance.

Il y a ce bouquin qui traite de la calculabilité en général et pas seulement celle concernant les nombres réels. Cet autre bouquin aussi mais en moins complet je crois.

JLapin

Sneg a dit :

Ce que tu as écrit dans ton message précédent, c'est comme si tu écrivais : "Soit donc $T$ un tableau contenant horizontalement la totalité des réels. On applique l'argument diagonal et on obtient une suite de décimales, nommons-la $x$, qui n'est pas dans ce tableau, donc $x$ n'est pas un réel."

Non, raoul.S n'a certainement pas voulu écrire une chose pareille. Tu sembles n'avoir toujours pas compris l'argument diagonal.

Dom

Disons que la conclusion « $x$ n’est pas réel » est une absurdité (car on montre justement que ce $x$ est bien un réel). 

Sneg

JLapin et Dom : Bien sûr, je sais que ce que j’ai fait dire à raoul.S est une absurdité. C’est pour ça que j’ai commencé ma phrase par le prudent « c’est comme si tu écrivais ».

Là où nous sommes en désaccord, raoul.S, c’est à propos du sens à donner au texte que j’ai mis en lien dans mon message précédent. D’après toi, ce texte signifie que le tableau $T$ des réels calculables n’est pas calculable. Tout ce que je peux te répondre, c’est que selon la théorie officielle (ce n’est pas moi qui « baratine »), l’ensemble des réels calculables est dénombrable. Et j’ai du mal à imaginer un tel résultat si l’ensemble des réels calculables n’est pas calculable.
Merci pour les liens vers des textes concernant la calculabilité.

JLapin

Cela dit, j'ai encore d'autres pressentiments . Comme celui-ci :  

"Le bidouillage de la diagonale du tableau $T$ de n'importe quel ensemble infini de réels génère un nombre réel non calculable."

Tu peux très facilement définir un tableau pour lequel la diagonale va générer le réel $0$.

raoul.S

Sneg a dit :

Là où nous sommes en désaccord, raoul.S, c’est à propos du sens à donner au texte que j’ai mis en lien dans mon message précédent. D’après toi, ce texte signifie que le tableau $T$ des réels calculables n’est pas calculable. Tout ce que je peux te répondre, c’est que selon la théorie officielle (ce n’est pas moi qui « baratine »), l’ensemble des réels calculables est dénombrable.

Oui, l'ensemble des réels calculable est dénombrable mais n'est pas calculable. Tu sembles penser que "dénombrable" est équivalent à "calculable", ce n'est pas le cas. Un ensemble peut être dénombrable sans être calculable. Je cite le texte de Wikipedia que tu considères  : 

La réponse de Turing est que l'on ignore comment attribuer un numéro à chaque nombre calculable (plus précisément, on peut facilement démontrer, justement, qu'une telle attribution n'est pas calculable), or ceci doit être fait préalablement à la diagonalisation.

Lis bien la partie en gras, elle te dit que ton tableau $T$ n'est pas calculable, car ce dernier attribue un nombre entier (le numéro de ligne) à chaque réel calculable. L'intégralité du texte ICI.

Dom

Théorème D : quelle que soit la suite des réels entre 0 et 1, la diagonale extirpe un réel entre 0 et 1 qui n’est pas dans la suite. 

Théorème C : Les calculables sont dénombrables

Ainsi :
Quelle que soit la suite de tous les réels calculables entre 0 et 1 (qui existe d’après le théorème C) on extirpe un réel entre 0 et 1 qui n’est pas dans la suite (d’après le théorème D). 

DONC : ce réel n’est pas calculable.

Sneg

Ben, c’est exactement ce que je dis, Dom !
Je peux dresser la liste des réels calculables, puisque celui qu’on extirpe à partir de la diagonale est non calculable.
Etrange.

Dom

Et bien alors je ne comprends rien. 

Quel est le problème alors ?

gerard0

Heu ... la logique de cette phrase m'échappe : "Je peux dresser la liste des réels calculables, puisque celui qu’on extirpe à partir de la diagonale est non calculable."

Surtout après le rappel du fait, connu depuis des décennies que "l'ensemble des réels calculable est dénombrable mais n'est pas calculable" par Raoul.S

Mais ce n'est pas ça le problème !!

Dom

Exact. J’ai lu sans lire…  ce « puisque » est très surprenant. 

Sneg

Bonsoir à tous,
Ma question est toute simple : Qu'est-ce qui m'empêche de dresser la liste des nombres réels calculables ?
Merci d'avance.

JLapin

Rien si tu te contentes de dire "Fixons une bijection de $\N$ sur l'ensemble des nombres calculables".

Dom

Rien. Le théorème dit « il existe ». 

Il ne faut peut-être pas confondre « moi, en tant qu’humain, je peux » avec un « il existe ». 

C’est d’ailleurs pour cette raison que les énoncés simplifiés trompent parfois les non matheux : « on peut écrire n’importe quel nombre décimal en écriture décimale » n’est pas vrai au sens de l’humain car je ne sais pas qui peut écrire $2^{(9999^{9999})}$ en écriture décimale. 

Et encore plus naïvement cette question est étrange. « Qu’est-ce qui m’empêche d’écrire tous les termes d’une suite constante ? »
Bah ta durée de vie. 

Rien que dresser la liste des nombres entiers…

raoul.S

Sneg a dit : 

Ma question est toute simple : Qu'est-ce qui m'empêche de dresser la liste des nombres réels calculables ?

Rien n'empêche les mathématiciens de dresser cette liste. Par contre Alice ne peut pas dresser cette liste car cette liste n'est pas calculable (je dis que la liste n'est pas calculable, pas les nombres qu'elle contient !), or Alice n'accepte pas de faire des raisonnements avec des objets non calculables donc elle ne peut pas accepter de considérer cette liste dans son raisonnement.

Sneg

Ok, je crois avoir compris ce qui nous oppose.
Ce qu'Alice délaisse, ce sont juste les nombres réels non calculables et pas "tout objet mathématique non calculable". elle ne veut juste pas écrire les nombres réels non calculables.
Cela pose un problème ?

Dom

Je ne peux pas répondre car dès qu’on sort du discours mathématique et qu’on scénarise, d’une part je ne sais pas de quoi on parle « délaisser », « ne pas vouloir », et d’autre part ça m’agace (mais ça c’est moins grave, ça sort aussi des maths).

L’adjectif « calculable » s’utilise pour des réels.
Mais aussi des suites ? des ensembles ?

raoul.S

Sneg a dit : 

Cela pose un problème ?

Ça dépend, j'ai une question pour Alice 

Alice, es-tu consciente que si dans tes raisonnements tu acceptes d'utiliser un tableau $T$ contenant tous les réels calculables, alors à partir de ce tableau tu peux construire "mécaniquement", via un algorithme appelé "procédé diagonal", un réel non-calculable ?  Si ta réponse est "oui" tu ne trouves pas dérangeant le fait que tu ne veux pas manipuler de réels non-calculables et qu'à cause du procédé diagonal tu es obligée d'en manipuler au moins un (celui obtenu grâce à la diagonale de $T$) ?

PS. pauvre Alice 😅

Sneg

Raoul.S, 
Alice connaît l’existence des nombres réels non calculables. Mais elle ne les manipule pas de sa propre initiative. Si au détour d’un raisonnement elle vient à en rencontrer un, elle ne s’en étonnera pas. Voilà tout.
Qu’y a-t-il là de si dérangeant ?

Dom

Et bien alors elle ne s’en étonne pas (toujours cette rhétorique de sentiment humain). Elle en a trouvé un grâce à cette diagonale. Elle peut même en trouver un nombre dénombrable en changeant de bijection initiale.

Quid ?

gerard0

Finalement, on est revenu à des discussions antérieures, où les problèmes psychologiques de Alice n'ont aucun intérêt. La seule différence est le vocabulaire, et encore... 
Toujours le même problème : pourquoi venir sur un forum de maths en ne voulant pas en faire ? 

JLapin

$2.$ l'argument diagonal ne prouve pas que l'intervalle des réels $[0, 1[$ soit non dénombrable. Pour cela, il faut encore établir que l'ensemble des nombres réels non calculables appartenant à l'intervalle $[0, 1[$ est non dénombrable. A ce propos, l'argument diagonal tel qu'il est présenté au grand public ne peut pas s'appliquer à cet ensemble de nombres puisque, pour pouvoir écrire ces réels sous forme de développement décimal illimité il faudrait pouvoir les calculer, ce qui n'est pas le cas, par définition même des nombres réels non calculables.

Pour la 150e fois, on peut pour n'importe quel réel $x$ définir la suite $u_n = \lfloor 10^n x \rfloor - 10\lfloor 10^{n-1} x\rfloor$.

Et bien sûr que si, l'argument diagonal prouve l'indénombrabilité de $[0,1[$.

Et le grand public n'a que faire de l'argument diagonal : c'est un vrai raisonnement, que l'on présente à Bac+1 (ou un peu plus) à un public restreint qui cherche à apprendre la science mathématique, pas un blabla mal branlé pour le chaland curieux.

Dom

Bien vu JLapin, j’avais zappé ce passage (les pavés d’un tel auteur me terrifient). 

raoul.S

@Sneg le problème de ta réponse ICI est que comme l'a fait remarquer gerard0 cette réponse n'est pas mathématique, elle est psychologique. En fait, le vrai problème d'Alice, est qu'elle cherche à faire des maths sans connaître les définitions formelles des objets qu'elle manipule. Par exemple lorsqu'elle dit : 

Sneg a dit :

Alice connaît l’existence des nombres réels non calculables. Mais elle ne les manipule pas de sa propre initiative.

Si Alice connaissait les réels non calculables elle connaîtrait à fortiori la définition formelle des nombres réels et donc pourquoi ne pas les manipuler ?

Pourquoi les mathématiciens devraient donner des définitions formelles des objets si ensuite ils ne les utilisent pas dans leurs raisonnements ? Une telle démarche n'a aucun sens.
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De plus je suis curieux de savoir qu'elle réponse donnerait Alice à cette affirmation de JLapin : 

JLapin a dit :

Pour la 150e fois, on peut pour n'importe quel réel $x$ définir la suite $u_n = \lfloor 10^n x \rfloor - 10\lfloor 10^{n-1} x\rfloor$.

Sneg

Vous ne voyez dans le discours d'Alice aucun intérêt mathématique.
Au contraire, j'y vois un sujet mathématique fondamental.

L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes existe. Pourtant, on peut s'en passer et travailler dans un autre ensemble de nombres.
Par exemple, si dans $\mathbb{R}$ on rencontre au cours d'un calcul l'expression $\sqrt{-3}$, alors on ne bronche pas, on arrête simplement le calcul.

La question mathématique que l'allégorie d'Alice pose est la suivante : 
L'ensemble des nombres réels non calculables existe. Peut-on s'en passer et travailler dans un autre ensemble de nombres, à savoir l'ensemble des nombres calculables ?
Par exemple, si au détour d'un travail (raisonnement, calcul, ...), on rencontre un nombre réel non calculable, on ne bronchera pas, on arrêtera simplement le travail.

Si la question que je viens de poser ici ne mérite pas de figurer dans la rubrique "Fondements et Logique", alors je ne comprends plus rien.